Integral Lebesgue: Perbedaan antara revisi
Tampilan
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
k Perubahan kosmetik tanda baca |
||
Baris 6: | Baris 6: | ||
=== Ruang ukuran === |
=== Ruang ukuran === |
||
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> ( X |
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> ( X, \Sigma, \mu ) </math>. |
||
=== Integral dari fungsi sederhana === |
=== Integral dari fungsi sederhana === |
||
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A |
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A : X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah |
||
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math> |
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math> |
||
Suatu fungsi <math> \phi |
Suatu fungsi <math> \phi: X \rightarrow \mathbb{R} </math> tersebut '''fungsi sederhana''', jika |
||
:<math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> |
:<math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> |
||
untuk <math> \alpha _1 |
untuk <math> \alpha _1, \ldots, \alpha _n \in \mathbb{R} </math>, <math> A _1, \ldots, A _n \in \Sigma </math> dan <math> n \in \mathbb{N} </math>. |
||
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai |
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai |
||
Baris 20: | Baris 20: | ||
=== Integral dari fungsi tak negatif === |
=== Integral dari fungsi tak negatif === |
||
Misalnya <math> f |
Misalnya <math> f: ( X, \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R}, \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai |
||
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu |
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math> |
||
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0 |
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>. |
||
=== Integral dari fungsi terukur sembarang === |
=== Integral dari fungsi terukur sembarang === |
||
Misalnya <math> f |
Misalnya <math> f: ( X, \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R}, \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur. |
||
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f |
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>. |
||
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>. |
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>. |
||
Baris 35: | Baris 35: | ||
== Sifat-sifat dasar == |
== Sifat-sifat dasar == |
||
* Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha |
* Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </math> dan <math> f, g </math> fungsi terintegralkan, maka <math> \alpha f + \beta g </math> juga terintegralkan dengan |
||
:<math> \int _X \alpha f + \beta g \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu .</math> |
:<math> \int _X \alpha f + \beta g \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu .</math> |
||
* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f |
* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka |
||
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math> |
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math> |
||
Revisi per 10 Juni 2019 09.38
Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.
Konstruksi
Ruang ukuran
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .
Integral dari fungsi sederhana
Fungsi karakteristik untuk himpunan adalah
Suatu fungsi tersebut fungsi sederhana, jika
untuk , dan .
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana sebagai
Integral dari fungsi tak negatif
Misalnya suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
Perhatikan bahwa .
Integral dari fungsi terukur sembarang
Misalnya suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif dan adalah didefinisikan tik demi tik sebagai dan . Perhatikan bahwa dan .
Jika dan , maka dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan
Jelas, terintegralkan jika dan hanya jika .
Sifat-sifat dasar
- Integral itu linear, yaitu jika dan fungsi terintegralkan, maka juga terintegralkan dengan
- Integral itu monoton, yaitu jika fungsi terintegralkan dan , maka