Deret Fourier

Dalam matematika, Deret Fourier (/ˈfʊrieɪ, -iər/) merupakan penguraian fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas di lempeng logam.

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas berperilaku dalam cara sederhana, terutama bila sumber panas merupakan gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear) gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier.

Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra, mekanika kuantum, dan lain-lain.

Definisi

Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, $s(x)$, yaitu integrable pada interval panjang $P$, yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:

$x\in [0,1],$ dan $P=1.$

$x\in [-\pi ,\pi ],$ dan $P=2\pi .$

Analisis proses menentukan bobot, diindeks dengan integer $n$, yang merupakan jumlah siklus nilai $n^{\text{th}}$ harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan $x$, ialah $P/n$. Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah $n/P$. $n^{th}$ harmonik nilai $\sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)$ dan $\cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)$, dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang $P$:

Koefisien Fourier ${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx.\end{aligned}}$ (Eq.1)

• Jika nilai $s(x)$ ialah nilai $P$ dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
• Nilai $a_{0}$ dan $b_{0}$ dapat direduksi menjadi nilai $a_{0}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\,dx$ dan $b_{0}=0$.
• Banyaknya teks memilih nilai $P=2\pi$ untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

Proses sintesis (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus ${\begin{aligned}s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right).\end{aligned}}$ (Eq.2)

Secara umum, integer pada nilai $N$ secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama $s(x)$ di semua nilai $x$ (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

Jika $s(t)$ adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang $P$ (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak ($A_{n}$) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari $s(t).$ Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik $s(t),$ sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis $s(t).$

Menggunakan identitas trigonometri:

$A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),$

dan definisi nilai $A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ dan $\varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})$, pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

Deret Fourier, bentuk fase amplitudo $s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right).$ (Eq.3)

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks $s(x)$ (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan rumus Euler untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, konjugasi kompleks dilambangkan dengan tanda bintang:

${\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}$

Oleh karena itu, dengan definisi:

$c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,$

hasil akhirnya adalah:

Deret Fourier, bentuk eksponensial $s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$ (Eq.4)

Fungsi bernilai kompleks

Jika nilai $s(x)$ adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata $x,$ kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$     and     $c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

Mendefinisikan nilai $c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$ menghasilkan:

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$ (Eq.5)

Hal tersebut identik dengan Eq.4 selain nilai $c_{n}$ dan $c_{-n}$ bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai $c_{n}$ juga tidak berubah:

${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}$

Notasi umum lainnya

Notasi pada nilai $c_{n}$ tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda. Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi ($s$, dalam kasus ini), seperti ${\hat {s}}(n)$ atau $S[n]$, dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

${\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}$

Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi sisir Dirac:

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),$

dari mana $f$ mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel $x$ memiliki satuan detik, $f$ memiliki satuan hertz. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu harmonik) dari nilai $1/P$, yang disebut frekuensi dasar.  $s_{\infty }(x)$  dapat dipulihkan dari representasi ini dengan transformasi Fourier terbalik:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}$

Fungsi yang dibangun pada nilai $S(f)$ oleh karena itu biasanya disebut sebagai Transformasi Fourier, meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.

• 
  Empat jumlah parsial pertama dari deret Fourier untuk gelombang persegi
• 

Konvergen

Teorema

Jika $f$ periodik dengan periode $2\pi$, kontinu dan mulus bagian demi bagian, maka deret Fourier dari $f$ konvergen mutlak dan secara seragam pada $\mathbb {R}$.

Referensi

Pranala luar

• Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier
• Phasor Phactory Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
• Java applet Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang
• Example problems - Contoh perhitungan deret Fourier
• Fourier series explanation - pendekatan nonmatematis sederhana
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Fourier Series". MathWorld. 
• Modul deret Fourier oleh John H. Mathews
• Joseph Fourier - Situs web tentang riwayat Fourier historical section of this article
• SFU.ca - 'Teorema Fourier'
• In the bottom of this interactive lecture, animasi Java yang menunjukkan bagaimana pengaruh terhadap deret Fourier bila suku orde ke-n+1 ditambahkan ke suku ke-n