Diferensial total

Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

Penjelasan

Mengikuti (Goursat 1904, I, §15), untuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen,

$y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,$

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x₁ merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx₁ dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

${\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}$

melibatkan derivatif parsial y terhadap  x₁. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},$

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen x_i.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multivariabel, mengikuti (Courant 1937ii), jika f adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka menurut definisi dapatnya suatu fungsi itu didiferensiasi, inkremen

${\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}$

di mana elemen kesalahan (error term) ε _i mendekati nol karena inkremen Δx_i bergabung bersama mendekati nol. Jadi, diferensial total dapat secara ketat didefinisikan sebagai

$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.$

Lihat pula

• diferensial
• diferensial parsial
• persamaan diferensial

Pustaka

• Courant, Richard (1937i), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (dipublikasikan tanggal 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558 .
• Courant, Richard (1937ii), Differential and integral calculus. Vol. II, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (dipublikasikan tanggal 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559  .
• Courant, Richard; John, Fritz (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554 
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5 .
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série, 42: 293–323, ISSN 0012-9593, MR 1509268 .