Integral Riemann: Perbedaan antara revisi
Baris 16: | Baris 16: | ||
[[Berkas:Riemann.gif|thumb|right|Barisan jumlahan Riemann. Bilangan di kanan atas adalah luas daerah persegi panjang abu-abu, yang konvergen terhadap integral fungsi tersebut]] |
[[Berkas:Riemann.gif|thumb|right|Barisan jumlahan Riemann. Bilangan di kanan atas adalah luas daerah persegi panjang abu-abu, yang konvergen terhadap integral fungsi tersebut]] |
||
== Definisi == |
|||
=== Partisi dari selang === |
|||
Himpunan <math> P = \{ x _0 , x _2 , \ldots , x _n \} </math> disebut ''partisi'' dari selang <math> [a, b] </math> apabila |
|||
:<math> a = x _0 < x _1 < \cdots < x _n = b . </math> |
|||
Jika <math> P </math> dan <math> Q </math> partisi dari <math> [a, b ] </math>, maka <math> Q </math> disebut suatu ''perhalusan'' dari <math> P </math> apabila <math> P \subseteq Q </math>. |
|||
=== Jumlah Riemann bawah dan jumulah Riemann atas === |
|||
Misalkan <math> f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} </math> adalah fungsi riil yang terbatas. |
|||
Untuk setiap partisi <math> P = \{ x _0 , x _2 , \ldots , x _n \} </math> dari <math> [a,b] </math>, kita dapat mendefinisikan ''Jumlah Riemann bawah'' sebagai |
|||
:<math> L ( P , f ) = \sum _{k=1} ^n m _k ( x _k - x _{k-1} ) </math> |
|||
dengan <math> m _k = \inf _{x \in [x _k , x _{k-1} ]} f ( x ) </math>. |
|||
Selanjutnya, kita juga mendefinisikan ''Jumlah Riemann atas '' sebagai |
|||
:<math> U ( P , f ) = \sum _{k=1} ^n M _k ( x _k - x _{k-1} ) </math> |
|||
dengan <math> M _k = \sup _{x \in [x _k , x _{k-1} ]} f ( x ) </math>. |
|||
<!-- sembunyikan dulu |
<!-- sembunyikan dulu |
Revisi per 15 Februari 2016 23.23
Artikel ini perlu diterjemahkan dari bahasa Inggris ke bahasa Indonesia. Artikel ini ditulis atau diterjemahkan secara buruk dari Wikipedia bahasa Inggris. Jika halaman ini ditujukan untuk komunitas bahasa Inggris, halaman itu harus dikontribusikan ke Wikipedia bahasa Inggris. Lihat daftar bahasa Wikipedia. Artikel yang tidak diterjemahkan dapat dihapus secara cepat sesuai kriteria A2. Jika Anda ingin memeriksa artikel ini, Anda boleh menggunakan mesin penerjemah. Namun ingat, mohon tidak menyalin hasil terjemahan tersebut ke artikel, karena umumnya merupakan terjemahan berkualitas rendah. |
Integral Riemann, dalam cabang matematika yang dikenal sebagai analisis riil, merupakan definisi ketat pertama integral sebuah fungsi dalam sebuah selang. Meskipun integral Riemann tidak cocok untuk banyak kegunaan teoretis, integral ini merupakan salah satu integral yang paling mudah untuk didefinisikan. Sebagian kekurangan teknis ini dapat diperbaiki oleh integral Riemann-Stieltjes, dan kebanyakan tidak ada lagi pada integral Lebesgue.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/220px-Integral_as_region_under_curve.svg.png)
Tinjauan umum
Misalkan f adalah fungsi riil pada selang [a, b], dan misalkan S = { (x, y| 0 < y < f(x)} merupakan daerah di bawah grafik fungsi f dan di antara selang [a, b]. Kita ingin mengukur luas daerah S. Bila kita telah mengukurnya, kita akan melambangkan daerah tersebut sebagai:
Gagasan dasar integral Riemann adalah menggunakan hampiran yang sangat sederhana untuk daerah S. Dengan mengambil hampiran yang semakin baik, kita dapat mengatakan "dalam limitnya" kita mendapatkan luas daerah S di bawah kurva.
Perhatikan bahwa bila ƒ bisa bernilai baik positif atau negatif, integral tersebut terkait dengan daerah bertanda di bawah grafik ƒ, yaitu luas daerah di atas sumbu-x dikurangi luas daerah di bawah sumbu-x.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Riemann.gif/220px-Riemann.gif)
Definisi
Partisi dari selang
Himpunan disebut partisi dari selang apabila
Jika dan partisi dari , maka disebut suatu perhalusan dari apabila .
Jumlah Riemann bawah dan jumulah Riemann atas
Misalkan adalah fungsi riil yang terbatas. Untuk setiap partisi dari , kita dapat mendefinisikan Jumlah Riemann bawah sebagai
dengan .
Selanjutnya, kita juga mendefinisikan Jumlah Riemann atas sebagai
dengan .