Integral Lebesgue

Integral Lebesgue dalam matematika modern suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran $(X,\Sigma ,\mu )$.

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik $\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$ untuk himpunan $A\subseteq X$ adalah

$\phi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.$

Suatu fungsi $\phi :X\rightarrow \mathbb {R}$ tersebut fungsi sederhana, jika

$\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$

untuk $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R}$, $A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma$ dan $n\in \mathbb {N}$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana $\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ sebagai

$\int \phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).$