Korelasi

Dalam teori probabilitas dan statistika, korelasi, juga disebut koefisien korelasi, adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linier antara dua peubah acak (random variable).

Koefisien korelasi

Korelasi tinggi	Tinggi	Rendah	Rendah	Tanpa korelasi	Tak ada korelasi (acak)	Tanpa korelasi	Rendah	Rendah	Tinggi	Korelasi tinggi
−1	< −0.9	> −0.9	< −0.4	> −0.4	0	< +0.4	> +0.4	< +0.9	> +0.9	+1

Salah satu jenis korelasi yang paling populer adalah koefisien korelasi momen-produk Pearson, yang diperoleh dengan membagi kovarians kedua variabel dengan perkalian simpangan bakunya. Meski memiliki nama Pearson, metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Francis Galton.

Koefisien korelasi momen-produk Pearson

Sifat-sifat matematis

Korelasi linier antara 1000 pasang pengamatan. Data digambarkan pada bagian kiri bawah dan koefisien korelasinya ditunjukkan pada bagian kanan atas. Setiap titik pengamatan berkorelasi maksimum dengan dirinya sendiri, sebagaimana ditunjukkan pada diagonal (seluruh korelasi = +1).

Korelasi ρ_{X, Y} antara dua peubah acak X dan Y dengan nilai yang diharapkan μ_X dan μ_Y dan simpangan baku σ_X dan σ_Y didefinisikan sebagai:

$\rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}.$

Karena μ_X = E(X), σ_X² = E(X²) − E²(X) dan demikian pula untuk Y, maka dapat pula ditulis

$\rho _{X,Y}={\frac {E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sqrt {E(X^{2})-E^{2}(X)}}~{\sqrt {E(Y^{2})-E^{2}(Y)}}}}$

Korelasi dapat dihitung bila simpangan baku finit dan keduanya tidak sama dengan nol. Dalam pembuktian ketidaksamaan Cauchy-Schwarz, koefisien korelasi tak akan melebihi dari 1 dalam nilai absolut. Korelasi bernilai 1 jika terdapat hubungan linier yang positif, bernilai -1 jika terdapat hubungan linier yang negatif, dan antara -1 dan +1 yang menunjukkan tingkat dependensi linier antara dua variabel. Semakin dekat dengan -1 atau +1, semakin kuat korelasi antara kedua variabel tersebut.

Jika variabel-variabel tersebut saling bebas, nilai korelasi sama dengan 0. Namun tidak demikian untuk kebalikannya, karena koefisien korelasi hanya mendeteksi ketergantungan linier antara kedua variabel. Misalnya, peubah acak X berdistribusi uniform pada interval antara -1 dan +1, dan Y = X². Dengan demikian nilai Y ditentukan sepenuhnya oleh X, sehingga

Koefisien korelasi non-parametrik

Koefisien korelasi Pearson merupakan statistik parametrik, dan ia kurang begitu menggambarkan korelasi bila asumsi dasar normalitas suatu data dilanggar. Metode korelasi non-parametrik seperti ρ Spearman and τ Kendall berguna ketika distribusi tidak normal. Koefisien korelasi non-parametrik masih kurang kuat bila dibandingkan dengan metode parametrik jika asumsi normalitas data terpenuhi, namun cenderung memberikan hasil distrosi ketika asumsi tersebut tak terpenuhi.

Metode pengukuran yang lain untuk mengetahui dependensi antara dua peubah acak]]

Untuk mendapatkan suatu pengukuran mengenai dependensi data (juga nonlinier), dapat digunakan rasio korelasi, yang mampu mendeteksi hampir segala dependensi fungsional

Kopula dan korelasi

Banyak orang yang keliru menganggap bahwa informasi yang diberikan dari sebuh koefisien korelasi sudah cukup mendefinisikan struktur ketergantungan (dependensi) antara peubah acak. Namun untuk mengetahui adanya ketergantungan antara peubah acak harus dipertimbangkan pula kopula antara keduanya. Koefisien korelasi dapat didefinisikan sebagai struktur ketergantungan hanya pada beberapa kasus, misalnya dalam fungsi distribusi kumulatif pada distribusi normal multivariat.

Matriks korelasi

Matriks korelasi n peubah acak X₁, ..., X_n adalah n  ×  n matrik dimana i,j adalah corr(X_i, X_j). Jika ukuran korelasi yang digunakan adalah koefisien momen-produk, matriks korelasi akan sama dengan matriks kovarians peubah acak yang telah distandarkan X_i /SD(X_i) untuk i = 1, ..., n. Sehingga, matriks korelasi merupakan matriks definit tak-negatif.

Matriks korelasi selalu simetris, yakni korelasi antara $X_{i}$ dan $X_{j}$ adalah sama dengan korelasi antara $X_{j}$ and $X_{i}$).

"Korelasi tak selalu berarti sebab-akibat"

Diktum konvensi bahwa "korelasi tak selalu berarti sebab-akibat" dibahas dalam artikel hubungan artifisial (spurious relationship). Lihat pula korelasi mengarah ke hubungan sebab-akibat (kekeliruan logis). Bagaimanapun, korelasi tak diasumsukan selalu akausal, meski penyebab tersebut bisa pula tidak diketahui.

Menghitung korelasi secara akurat dengan metode numerik

Berikut adalah algoritma (dalam pseudocode) yang akan mengestimasi korelasi dengan menggunakan metode mumerik

sum_sq_x = 0
sum_sq_y = 0
sum_coproduct = 0
mean_x = x[1]
mean_y = y[1]
last_x = x[1]
last_y = y[1]
for i in 2 to N:
    sweep = (i - 1.0) / i
    delta_x = x[i] - mean_x
    delta_y = y[i] - mean_y
    sum_sq_x += delta_x * delta_x * sweep
    sum_sq_y += delta_y * delta_y * sweep
    sum_coproduct += delta_x * delta_y * sweep
    mean_x += delta_x / i
    mean_y += delta_y / i 
pop_sd_x = sqrt( sum_sq_x / N )
pop_sd_y = sqrt( sum_sq_y / N )
cov_x_y = sum_coproduct / N
correlation = cov_x_y / (pop_sd_x * pop_sd_y)

Pranala luar

• Understanding Correlation - Materi pegantar
• Statsoft Electronic Textbook
• Pearson's Correlation Coefficient
• Learning by Simulations - Distribusi koefisien korelasi
• Jasa analisis statistik penelitian - Jasa analisis statistik penelitian