Fungsi invers

Fungsi Invers

Fungsi Invers (atau fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Misalnya anggap saja $f$ sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi $g$ dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga $g(f(a))=a$ dan $f(f(b))=b$ untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka $g$ disebut fungsi invers dari $f$ dan bisa ditulis sebagai $f^{-1}$. Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi $f(x)$ akan memiliki invers dengan syarat $f(x)$ merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi $f$ memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi $f$ atau ditulis $f^{-1}$ memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas. Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu $f(x)=x$.

Berkas:Fungsi invers.png

Menemukan Fungsi Invers

Contoh

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=2x+3$!

$f(x)=2x+3$

$f(x)-3=2x$

$x={\frac {f(x)-3}{2}}$

$f^{-1}(x)={\frac {x-3}{2}}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=x^{2}-6x+15$!

$f(x)=x^{2}-6x+15$

$f(x)=x^{2}-6x+9-9+15$

$f(x)=(x+3)^{2}+6$

$f(x)-6=(x+3)^{2}$

$x+3=\pm {\sqrt {f(x)-6}}$

$x=-3\pm {\sqrt {f(x)-6}}$

$f^{-1}(x)=-3\pm {\sqrt {x-6}}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}$!

$f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}$

$(5x+3)f(x)=2x-7$

$5xf(x)+3f(x)=2x-7$

$5xf(x)-2x=-3f(x)-7$

$(5f(x)-2)x=-3f(x)-7$

$x={\frac {-3f(x)-7}{5f(x)-2}}$

$f^{-1}(x)={\frac {-3x-7}{5x-2}}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=e^{x+3}$!

$f(x)=e^{x+3}$

$^{e}\log f(x)=x+3$

$x=^{e}\log f(x)-3$ (karena $^{e}\log x=\ln x$)

$f^{-1}(x)=\ln x-3$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=^{2}\log(x^{2}+8x-25)$!

$f(x)=^{2}\log {x^{2}+8x-25}$

$x^{2}+8x-25=2^{f(x)}$

$x^{2}+8x+16-41=2^{f(x)}$

$(x+4)^{2}-41=2^{f(x)}$

$(x+4)^{2}=41+2^{f(x)}$

$x+4=\pm {\sqrt {(}}41+2^{f(x)})$

$x=-4\pm {\sqrt {(}}41+2^{f(x)})$

$f^{-1}(x)=-4\pm {\sqrt {(}}41+2^{x})$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=sin(4x+3)-7$!

$f(x)=sin(4x+3)-7$

$f(x)+7=sin(4x+3)$

$4x+3=arcsin(f(x)+7)$

$4x=arcsin(f(x)+7)-3$

$x={\frac {arcsin(f(x)+7)-3}{4}}$

$f^{-1}(x)={\frac {arcsin(x+7)-3}{4}}$

Lihat pula

• Fungsi (matematika)
• Fungsi komposisi