Lompat ke isi

Fungsi ganjil dan genap: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k Bot: Perubahan kosmetika
k Bot: Perubahan kosmetika
Baris 15: Baris 15:


===Even functions===
===Even functions===
[[Image:Function x^2.svg|right|thumb|{{nowrap|''&fnof;''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} is an example of an even function.]]
[[Image:Function x^2.svg|right|thumb|{{nowrap|''ƒ''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} is an example of an even function.]]
Let ''f''(''x'') be a [[real number|real]]-valued function of a real variable. Then ''f'' is '''even''' if the following equation holds for all ''x'' and ''-x'' in the domain of ''f'':<ref>Gelfand 2002, p. 11</ref>
Let ''f''(''x'') be a [[real number|real]]-valued function of a real variable. Then ''f'' is '''even''' if the following equation holds for all ''x'' and ''-x'' in the domain of ''f'':<ref>Gelfand 2002, p. 11</ref>


Baris 33: Baris 33:


===Odd functions===
===Odd functions===
[[Image:Function-x3.svg|right|thumb|{{nowrap|''&fnof;''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} is an example of an odd function.]]
[[Image:Function-x3.svg|right|thumb|{{nowrap|''ƒ''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} is an example of an odd function.]]
Again, let ''f''(''x'') be a [[real number|real]]-valued function of a real variable. Then ''f'' is '''odd''' if the following equation holds for all ''x'' and ''-x'' in the domain of ''f'':<ref>Gelfand 2002, p. 72</ref>
Again, let ''f''(''x'') be a [[real number|real]]-valued function of a real variable. Then ''f'' is '''odd''' if the following equation holds for all ''x'' and ''-x'' in the domain of ''f'':<ref>Gelfand 2002, p. 72</ref>


Baris 51: Baris 51:


==Sejumlah fakta==
==Sejumlah fakta==
[[Image:Function-x3plus1.svg|right|thumb|{{nowrap|''&fnof;''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> + 1}} bukan merupakan fungsi ganjil maupun fungsi genap.]]
[[Image:Function-x3plus1.svg|right|thumb|{{nowrap|''ƒ''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> + 1}} bukan merupakan fungsi ganjil maupun fungsi genap.]]
===Kontinuitas dan diferensiabilitas===
===Kontinuitas dan diferensiabilitas===
A function's being odd or even does not imply [[differentiable function|differentiability]], or even [[continuous function|continuity]]. For example, the [[Dirichlet function]] is even, but is nowhere continuous. Properties involving Fourier series, Taylor series, derivatives and so on may only be used when they can be assumed to exist.
A function's being odd or even does not imply [[differentiable function|differentiability]], or even [[continuous function|continuity]]. For example, the [[Dirichlet function]] is even, but is nowhere continuous. Properties involving Fourier series, Taylor series, derivatives and so on may only be used when they can be assumed to exist.
Baris 97: Baris 97:
* [[Turunan]] dari sebuah fungsi genap adalah fungsi ganjil.
* [[Turunan]] dari sebuah fungsi genap adalah fungsi ganjil.
* Turunan dari sebuah fungsi ganjil adalah fungsi genap.
* Turunan dari sebuah fungsi ganjil adalah fungsi genap.
* [[Integral]] dari sebuah fungsi ganjil dari &minus;''A'' ke +''A'' adalah [[nol]] (dimana ''A'' adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara &minus;''A'' dan ''A'').
* [[Integral]] dari sebuah fungsi ganjil dari −''A'' ke +''A'' adalah [[nol]] (dimana ''A'' adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −''A'' dan ''A'').
* [[Integral]] dari sebuah fungsi genap dari &minus;''A'' ke +''A'' adalah dua kali integral dari 0 ke +''A'' (dimana''A'' adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara &minus;''A'' dan ''A''. Ini juga benar ketika ''A'' adalah bilangan tak terhingga, tetapi hanya jika integral itu konvergen).
* [[Integral]] dari sebuah fungsi genap dari −''A'' ke +''A'' adalah dua kali integral dari 0 ke +''A'' (dimana''A'' adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −''A'' dan ''A''. Ini juga benar ketika ''A'' adalah bilangan tak terhingga, tetapi hanya jika integral itu konvergen).


==== Sifat deret ====
==== Sifat deret ====

Revisi per 3 Desember 2018 01.14


Fungsi sinus dan semua polinomial Taylorlnya merupakan fungsi ganjil. Gambar ini menunjukkan sin(x) dan perkiraan Taylornya, polinomial dengan derajat 1, 3, 5, 7, 9, 11 dan 13.
Fungsi kosinus dan semua polinomial Taylorlnya merupakan fungsi genap. Gambar ini menunjukkan cos(x) dan perkiraan Taylornya dengan derajat 4.

Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut parity pangkat dari fungsi pangkat yang memenuhi setiap kondisi tertentu:

  • fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah interger genap.
  • fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah interger ganjil.

Definisi dan contoh

Konsep ganjil atau genap hanya didefinisikan untuk fungsi-fungsi yang ranah (domain) dan rentang (range)nya keduanya memiliki suatu invers aditif. Ini meliputi grup-grup aditif, semua cincin (ring), semua field, dan semua ruang vektor. Jadi, misalnya, fungsi dengan nilai real dari variabel real dapat merupakan fungsi ganjil atau genap, sebagaimana juga fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel vektor, dan seterusnya.

Sifat kalkulus

Sifat kalkulus dasar

  • Turunan dari sebuah fungsi genap adalah fungsi ganjil.
  • Turunan dari sebuah fungsi ganjil adalah fungsi genap.
  • Integral dari sebuah fungsi ganjil dari −A ke +A adalah nol (dimana A adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −A dan A).
  • Integral dari sebuah fungsi genap dari −A ke +A adalah dua kali integral dari 0 ke +A (dimanaA adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −A dan A. Ini juga benar ketika A adalah bilangan tak terhingga, tetapi hanya jika integral itu konvergen).

Sifat deret

  • Deret Maclaurin dari sebuah fungsi genap hanya terdiri dari pangkat genap.
  • Deret Maclaurinof dari sebuah fungsi ganjil hanya terdiri dari pangkat ganjil.
  • Deret Fourier dari sebuah fungsi genap periodik hanya terdiri dari fungsi kosinus.
  • Deret Fourier dari sebuah fungsi ganjil periodik hanya terdiri dari fungsi sinus.

Lihat pula

Referensi

Pustaka

Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Fungsi_ganjil_dan_genap&oldid=14540694"