Integral Lebesgue

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran $(X,\Sigma ,\mu )$.

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik $\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$ untuk himpunan $A\subseteq X$ adalah

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.$

Suatu fungsi $\phi :X\rightarrow \mathbb {R}$ tersebut fungsi sederhana, jika

$\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$

untuk $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R}$, $A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma$ dan $n\in \mathbb {N}$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana $\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ sebagai

$\int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).$

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya $f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

$\int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.$

Perhatikan bahwa $\int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]$.

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya $f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif $f^{+}$ dan $f^{-}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai $f^{+}=\max\{f,0\}$ dan $f^{-}=\max\{-f,0\}$. Perhatikan bahwa $f=f^{+}-f^{-}$ dan $|f|=f^{+}+f^{-}$.

Jika $\int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty$ dan $\int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty$, maka $f$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

$\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .$

Jelas, $f$ terintegralkan jika dan hanya jika $\int |f|\,d\mu <\infty$.

Sifat-sifat dasar

• Integral itu linear, yaitu jika $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ dan $f,g$ fungsi terintegralkan, maka $\alpha f+\beta g$ juga terintegralkan dengan

$\int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .$

• Integral itu monoton, yaitu jika $f,g$ fungsi terintegralkan dan $f\leq g$, maka

$\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .$