|
|
Baris 9: |
Baris 9: |
|
|
|
|
|
=== Integral dari fungsi sederhana === |
|
=== Integral dari fungsi sederhana === |
|
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A : X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah |
|
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A: X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah |
|
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math> |
|
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math> |
|
|
|
|
Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.
Konstruksi
Ruang ukuran
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .
Integral dari fungsi sederhana
Fungsi karakteristik untuk himpunan adalah
Suatu fungsi tersebut fungsi sederhana, jika
untuk , dan .
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana sebagai
Integral dari fungsi tak negatif
Misalnya suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
Perhatikan bahwa .
Integral dari fungsi terukur sembarang
Misalnya suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif dan adalah didefinisikan tik demi tik sebagai dan .
Perhatikan bahwa dan .
Jika dan , maka dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan
Jelas, terintegralkan jika dan hanya jika .
Sifat-sifat dasar
- Integral itu linear, yaitu jika dan fungsi terintegralkan, maka juga terintegralkan dengan
- Integral itu monoton, yaitu jika fungsi terintegralkan dan , maka