Turunan

Halaman ini berisi artikel tentang istilah yang digunakan dalam kalkulus. Untuk ulasan teknis, lihat kalkulus diferensial. Untuk kegunaan lainnya, lihat Turunan (disambiguasi).

Grafik fungsi (warna hitam) dan garis tangen pada fungsi (warna merah). Kemiringan dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.

Notasi umum yang digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.

• $y'$ adalah simbol untuk turunan pertama.
• $y''$ adalah simbol untuk turunan kedua.
• $y'''$ adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain $y'\,$ dan $y''\,$ adalah ${\frac {dy}{dx}}\,$ dan ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,$

Turunan umum

Sifat - sifat turunan

Linearitas

• ${\frac {d}{dx}}(u+v)=u'+v'\,$
• ${\frac {d}{dx}}(nu)=n{\frac {du}{dx}}\,$

Aturan produk

• ${\frac {d}{dx}}(uv)=u'v+uv'\,$

Dalil rantai

• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {dv}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}\,$

Sifat umum lain

• ${\frac {d}{dx}}({\frac {u}{v}})={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(u^{n})=nu^{n-1}\cdot {\frac {du}{dx}}$

Dimana fungsi $u$ dan $v$ adalah fungsi satu variabel $x$.

Eksponen dan bilangan natural

• ${\frac {d}{dx}}(e^{x})=e^{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}\ln {a}\,$

Logaritma dan bilangan natural

• ${\frac {d}{dx}}(\ln {x})={\frac {1}{x}}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\log _{a}{x})={\frac {1}{x\ln {a}}}\,$

Trigonometri

• ${\frac {d}{dx}}(\sin {x})=\cos {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\cos {x})=-\sin {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\tan {x})=\sec ^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\cot {x})=-\csc ^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\sec {x})=\sec {x}\tan {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\csc {x})=-\csc {x}\cot {x}\,$

Invers

• ${\frac {d}{dx}}(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

• ${\frac {d}{dx}}(\arccos x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccot} x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsc} x)={\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Hiperbolik

• ${\frac {d}{dx}}(\sinh {x})=\cosh {x}\,$

• ${\frac {d}{dx}}(\cosh {x})=\sinh {x}\,$

• ${\frac {d}{dx}}(\tanh {x})={\text{sech}}^{2}\,{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\coth {x})=-{\text{csch}}^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}({\text{sech}}\,{x})={\text{sech}}\,{x}\tanh {x}$
• ${\frac {d}{dx}}{{\text{csch}}\,{x}}=-{\text{csch}}\,{x}\coth {x}$

Contoh soal dalam aplikasi turunan

NB

hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.

• Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva $y=x^{3}+2x^{2}-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^{3}+2x^{2}-5x$

$m=y'=3x^{2}+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

$y-(-2)=2(x-1)$

$y=2x-4$

• Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva $y=x^{3}+2x^{2}-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^{3}+2x^{2}-5x$

$m=y'=3x^{2}+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2$

karena tegak lurus maka nilai m_t

$m_{t}=-{\frac {1}{m}}$

$m_{t}=-{\frac {1}{2}}$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_{1}=m_{t}(x-x_{1})$

$y-(-2)=-{\frac {1}{2}}(x-1)$

$2(y+2)=-x+1$

$2y+4=-x+1$

$2y=-x-3$

• Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari $3x-900+{\frac {120}{x}}$ ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

biaya dalam 1 hari $B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}$

biaya dalam x hari $B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})$

$B(x)=3x^{2}-900x+120$

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

$B'(x)=0$

$B'(x)=6x-900=0$

$6x=900$

$x=150$ hari

• Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar $75+2x+0,1x^{2}$ ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

laba = total penjualan - total biaya

laba $L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})$

$L(x)=-75+38x-0,1x^{2}$

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

$L'(x)=0$

$L'(x)=38-0,2x=0$

$0,2x=38$

$x=190$

$L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}$

$L(190)=-75+7,220-3,610$

$L(190)=3,535$ ribu rupiah

• Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y

$x+y^{2}=75$

$x=75-y^{2}$

hasil kali: $f(y)=x\cdot y$

$f(y)=(75-y^{2})\cdot y$

$f(y)=75y-y^{3}$

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

$f'(y)=0$

$f'(y)=75-3y^{2}=0$

$3y^{2}=75$

$y^{2}=25$

$y_{1}=5atauy_{2}=-5$

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

$x=75-(5)^{2}$

$x=50$

nilai terbesar hasil kali: $50\cdot 5=250$

Lihat pula

• Tabel turunan
• Integral