Halaman ini berisi artikel tentang istilah yang digunakan dalam kalkulus. Untuk ulasan teknis, lihat kalkulus diferensial. Untuk kegunaan lainnya, lihat Turunan (disambiguasi).
Artikel ini sedang dalam perbaikan. Untuk menghindari konflik penyuntingan, mohon jangan melakukan penyuntingan selama pesan ini ditampilkan. Halaman ini terakhir disunting oleh Darhnh (Kontrib • Log) 1490 hari 1422 menit lalu.
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.
Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.
Diferensiasi
Notasi (detail)
Aturan komputasi
Dalam dimensi yang lebih tinggi
Generalisasi
Sejarah
Notasi turunan
Notasi untuk diferensiasi yang umum digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.
Notasi Newton untuk turunan
adalah notasi untuk turunan pertama.
adalah notasi untuk turunan kedua.
adalah notasi untuk turunan ke-n.
adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada .
Notasi Leibniz untuk turunan
adalah notasi untuk turunan pertama.
adalah notasi untuk turunan kedua.
adalah notasi untuk turunan ke-n.
adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada .
Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada Mekanika klasik adalah
dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (), dan dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu ().
Notasi Libiniz
dy
dx
d2y
dx2
Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawanJerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana Δx dan Δy melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Untuk y sebagai fungsi dari x
turunany terhadap x, yang kemudian dipandang sebagai
adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan kecil takhingga x, atau
dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan f di x.
Meskipun sekarang matematikawan memandang integral
sebagai limit
dengan Δx adalah selang yang mengandung xi, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.
Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah
Dalam hal ini, y = f ( x ) = mx + b, untuk bilangan riilm dan b dan kemiringan m diberikan oleh
Apa itu simbol ∆ adalah singkatan untuk perubahan.
Rumus di atas berlaku karena
Hasilnya adalah
Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.
Nilai perubahan sebagai nilai limit
Gambar 2. The secant to curve y= f(x) determined by points (x, f(x)) and (x + h, f(x + h))
Figure 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong
Sifat - sifat turunan
Linearitas
Aturan produk
Dalil rantai
Sifat umum lain
Dimana fungsi dan adalah fungsi satu variabel .
Eksponen dan bilangan natural
Logaritma dan bilangan natural
Trigonometri
Invers
Hiperbolik
Contoh soal dalam aplikasi turunan
NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva di titik !
masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m
persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva di titik !
masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m
karena tegak lurus maka nilai mt
persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
biaya dalam 1 hari
biaya dalam x hari
biaya minimum tercapai saat turunannya = 0
hari
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?
laba = total penjualan - total biaya
laba
laba maksimum tercapai saat turunannya = 0
ribu rupiah
Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
hasil kali:
nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0
karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x
^Perhatikan bahwa adalah notasi ringkas untuk , atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x2, atau diferensial kedua dari x.