Persamaan fungsional Cauchy

Persamaan fungsional Cauchy adalah persamaan fungsional dari kebebasan linear:

$f(x+y)=f(x)+f(y).\$

Solusi untuk ini disebut fungsi aditif. Melalui bilangan rasional, dapat ditunjukkan menggunakan aljabar dasar bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu $f:x\mapsto cx$ untuk setiap konstanta rasional $c$. Selama bilangan riil, $f:x\mapsto cx$, sekarang dengan $c$ konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; namun ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ linier jika:

• $f$ adalah kontinu (dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821). Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh Darboux yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik.
• $f$ adalah monotonik pada interval apa pun.
• $f$ adalah dibatasi pada interval apa pun.
• $f$ adalah Lebesgue terukur.

Di sisi lain, jika tidak ada kondisi lebih lanjut yang diberlakukan $f$, kemudian (dengan asumsi aksioma pilihan) ada banyak fungsi lain yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dibuktikan pada tahun 1905 oleh Georg Hamel menggunakan basis Hamel. Fungsi semacam itu terkadang disebut Fungsi Hamel.

Masalah kelima pada Daftar Hilbert adalah generalisasi dari persamaan ini. Fungsi di mana terdapat bilangan riil $c$ such that $f(cx)\neq cf(x)\$ dikenal sebagai fungsi Cauchy-Hamel dan digunakan dalam invarian Dehn-Hadwiger yang digunakan dalam perluasan masalah ketiga Hilbert dari 3-D ke dimensi yang lebih tinggi.

Solusi atas bilangan rasional

Argumen sederhana, yang hanya melibatkan manipulasi aljabar dasar, menunjukkan bahwa himpunan peta aditif $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ identik dengan kumpulan peta linier.

Teorema: Karena $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ menjadi fungsi aditif. Kemudian $f$ adalah linear.

Bukti: Kami ingin membuktikan solusi apa pun $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ untuk persamaan fungsional Cauchy, $f(x+y)=f(x)+f(y)$, mengambil bentuknya $f(q)=cq,\ c\in \mathbb {Q}$. Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan kasus-kasus tersebut $q=0,\ q>0,\ q<0$.

Kasus I: ($q=0$)

Menyetel $y=0$, kami menyimpulkan itu

$f(x)=f(x)+f(0),\quad x\in \mathbb {Q}$

$\Rightarrow f(0)=0$.

Kasus II: ($q>0$)

Dengan penerapan berulang dari persamaan Cauchy ke $f\left(x+x+\cdots +x\right)=f\left(\alpha x\right)$, kami dapatkan

$\alpha f\left(x\right)=f\left(\alpha x\right),\quad \alpha \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (*)$

Substitusi dari $x$ oleh ${\frac {x}{\alpha }}$ dalam (*), dan perkalian hasilnya dengan ${\frac {\beta }{\alpha }}$, dimana $\beta \in \mathbb {N}$, yields

$\beta f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (**)$

Penerapan (*) ke sisi kiri (**) lalu memungkinkan

$f\left({\frac {\beta }{\alpha }}x\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q}$

$\Rightarrow f\left(qx\right)=qf\left(x\right),\quad q,x\in \mathbb {Q} ,\ q>0$

$\Rightarrow f\left(q\right)=qf\left(1\right)=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{+}$,

dimana $c=f(1)\in \mathbb {Q}$ adalah konstanta rasional yang sewenang-wenang.

Kasus III: ($q<0$)

Menyetel $y=-x$ dalam persamaan fungsional dan mengingat bahwa $f(0)=0$, kita memperoleh

$f(-x)=-f(x),\quad x\in \mathbb {Q}$.

Menggabungkan ini dengan kesimpulan yang diambil untuk bilangan rasional positif (`` Kasus II ) memberikan

$f(q)=-f\left(-q\right)=-{\big (}c(-q){\big )}=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{-}$.

Dipertimbangkan bersama, ketiga kasus di atas memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa solusi lengkap persamaan fungsional Cauchy atas bilangan rasional diberikan oleh:

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ,\quad q\mapsto cq,\ c=f(1)\in \mathbb {Q} .\quad \quad \blacksquare$

Properti solusi linier atas bilangan real

Kami membuktikan di bawah bahwa solusi lain harus memiliki fungsi patologis yang tinggi. Khususnya, kami menunjukkan bahwa solusi lain harus memiliki properti yang grafik $y=f(x)$ adalah padat masuk $\mathbb {R} ^{2}$, yaitu bahwa setiap disk pada bidang (namun kecil) berisi titik dari grafik. Dari sini mudah untuk membuktikan berbagai kondisi diberikan di paragraf pengantar.

Misalkan tanpa kehilangan keumuman itu $f(q)=q\ \forall q\in \mathbb {Q}$, dan $f(\alpha )\neq \alpha$ untuk beberapa $\alpha \in \mathbb {R}$.

Kemudian letakkan $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$.

Kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan titik dalam lingkaran acak, pusat $(x,y)$, radius $r$ dimana $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$.

Taruh $\beta ={\frac {y-x}{\delta }}$ dan pilih bilangan rasional $b\neq 0$ dekat dengan $\beta$ dengan:

$\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}$

Kemudian pilih bilangan rasional $a$ dekat dengan $\alpha$ dengan:

$\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}$

Sekarang taruh:

$X=x+b(\alpha -a)\$

$Y=f(X)\$

Kemudian menggunakan persamaan fungsional, kita dapatkan:

$Y=f(x+b(\alpha -a))\$

$=x+bf(\alpha )-bf(a)\$

$=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\$

$=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\$

$=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\$

Karena pilihan kita di atas, titik $(X,Y)$ ada di dalam lingkaran.

Referensi

• Kuczma, Marek (2009). An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Cauchy's equation and Jensen's inequality. Basel: Birkhäuser. ISBN 9783764387495. 

Pranala luar

• Solution to the Cauchy Equation Rutgers University
• The Hunt for Addi(c)tive Monster
• Martin Sleziak; et al. (2013). "Overview of basic facts about Cauchy functional equation". StackExchange. Diakses tanggal 20 December 2015.