Pangkat dua

"²" beralih ke halaman ini. Untuk Merupakan bilangan "2" superskrip, lihat ² (disambiguasi).

5⋅5, atau 5² (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu bujursangkar. Setiap blok mewakili satu unit, 1⋅1, dan seluruh bujursangkar mewakili 5⋅5, atau luas bujursangkar.

Pangkat dua atau bilangan kuadrat (bahasa Inggris: square) dalam matematika adalah hasil perkalian antara suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri atau lebih sederhananya bilangan kuadrat merupakan perkalian berulang. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya sama engan memangkatkan dengan bilangan  2, dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi superskrip. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3², yaitu sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada dokumen bahasa pemrograman atau teks biasa, notasi x^2 atau x**2 dapat digunakan untuk menggantikan x².

Hasil pangkat dua suatu integer dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam aljabar, operasi pengkuadratan sering kali digeneralisasi ke polinomial, ekspresi lain, atau nilai-nilai dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari fungsi linear x + 1 adalah polinomial kuadrat x² + 2x + 1.

Salah satu sifat penting dari kuadrat, bagi semua bilangan maupun sistem matematika, adalah bahwa untuk setiap bilangan atau variabel x), pangkat dua dari x adalah sama hasilnya dengan pangkat dua invers aditifnya −x. Jadi fungsi kuadrat memenuhi persamaan x² = (−x)². Karenanya fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi genap.

Dalam bilangan real

y = x². Kurva fungsi kuadrat mempunyai bentuk parabola. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu hukum kuadrat.

Fungsi kuadrat melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu fungsi monotonik pada interval [0, +∞). Pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval (−∞,0]. Jadi, bilangan nol merupakan nilai minimum global.

Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan x² suatu bilangan menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari x, yaitu ketika 0 < x < 1 atau dengan kata lain, ketika x termasuk ke dalam interval terbuka (0,1). Ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu integer tidak pernah lebih kecil daripada bilangan asalnya.

Setiap bilangan real positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan nol hanya merupakan pangkat dua dari satu bilangan saja, yaitu bilangan itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi akar kuadrat, yang dihubungkan dengan suatu bilangan real bukan negatif yang kuadratnya adalah bilangan asalnya.

Lihat pula

• Eksponensiasi dengan kuadrat
• Polynomial SOS, representasi dari sebuah polinomial tak negatif sebagai penjumlahan kuadrat polinomial
• Masalah Hilbert ketujuhbelas, untuk representasi polinomial positif sebagai sebuah penjumlahan kuadrat fungsi rasional
• Polinomial bebas-persegi
• Pangkat tiga (aljabar)
• Tensor metrik
• Persamaan kuadrat
• Gelanggang polinomial
• Penjumlahan kuadrat (halaman disambiguasi dengan berbagai tautan yang relevan)

Identitas terkait

Aljabar (membutuhkan suatu gelanggang komutatif)

• Selisih dua kuadrat
• Identitas Brahmagupta–Fibonacci, berkaitan dengan bilangan kompleks dalam arti yang dibahas di atas
• Identitas Euler empat kuadrat, berkaitan dengan kuaternion dengan cara yang sama
• Identitas Degen delapan kuadrat, berkaitan dengan oktonion dengan cara yang sama
• Identitas Lagrange

Lain-lain

• Identitas trigonometrik Pythagoras
• Identitas Parseval

Kuantitas fisik terkait

• Percepatan, panjang per kuadrat waktu
• Penampang lintang (fisika), suatu kuantitas berdimensi area
• Konstanta kopling (mempunyai muatan kuadrat pada penyebut, dan dapat diekspresikan dengan jarak kuadrat pada numerator)
• Energi kinetik (ketergantungan kuadrat pada kecepatan)
• Energi spesifik, sebuah kuantitas berdimensi (kecepatan kuadrat)

Catatan kaki

2. ^
3. ^
4. ^
5. ^
6. ^
7. ^
8. ^

Pustaka tambahan

• Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.