Transpos: Perbedaan antara revisi
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en: Transpose; Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
+Kategori:Matriks; +Kategori:Aljabar abstrak; +Kategori:Aljabar linear menggunakan HotCat |
||
Baris 121: | Baris 121: | ||
{{linear algebra}} {{Tensors}} |
{{linear algebra}} {{Tensors}} |
||
[[Kategori:Matriks]] |
|||
[[Kategori:Aljabar abstrak]] |
|||
[[Kategori:Aljabar linear]] |
Revisi per 26 Februari 2021 03.27
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Matrix_transpose.gif/200px-Matrix_transpose.gif)
Dalam aljabar linear, transpose dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks A, menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai AT.[1][2] Transpose dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.[3]
Transpose dari sebuah matriks
Definisi
Transpose dari sebuah matriks A, yang dinyatakan sebagai AT,[1][4] ⊤A, A⊤, ,[5][6] A′,[7] Atr, tA, atau At, dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:
- Merefleksikan A sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan AT;
- Menulis setiap baris dari A sebagai kolom dari AT;
- Menulis setiap kolom dari A sebagai baris dari AT.
Secara lebih formal, elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari AT adalah elemen baris ke-j dan kolom ke-i dari A:
Jika A adalah matriks berukuran m × n, maka matriks AT berukuran n × m.
Untuk kasus matriks persegi, notasi AT juga dapat menyatakan pangkat T dari matriks A. Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpose sebagai TA. Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena (TA)n = T(An): menulis TAn tidak menimbulkan kerancuan.
Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol T sebagai nama variabel.
Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpose:
Nama matriks | Kondisi | Definisi |
---|---|---|
Simetrik | Matriks persegi dengan hasil transposenya berupa dirinya sendiri | |
Skew-symmetric | Matriks persegi dengan hasil transposenya sama dengan negatif dari dirinya sendiri | |
Hermitian | Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposenya adalah konjugat kompleks dari elemen pada posisi yang sama.
Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpose konjugatnya. | |
Ortogonal | Matriks persegi dengan hasil transposenya sama dengan invers dirinya sendiri | |
Uniter | Matriks persegi dengan hasil transposenya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri. |
Contoh
Hasil kali
Jika matriks A berukuran m × n dan AT adalah transposenya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: A AT yang berukuran m × m dan AT A yang berukuran n × n. Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks A AT adalah hasil kali dalam baris dari A dengan kolom dari AT. Namun karena kolom pada AT adalah baris pada A, setiap elemen di A AT adalah hasil kali dalam dua baris matriks A. Jika pi j adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke-i dan ke-j di A. Nilai elemen pj i juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga pi j = pj i, dan menyebabkan A AT simetrik. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian AT A juga matriks simetrik.
Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks A AT didapatkan dari fakta transpose matriks tersebut adalah dirinya sendiri:
Implementasi transpose matriks di komputer
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Row_and_column_major_order.svg/220px-Row_and_column_major_order.svg.png)
Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpose matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpose, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.
Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpose matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme transformasi Fourier cepat, melakukan transpose matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.
Idealnya, kita mengharapkan operasi transpose dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpose matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpose matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.
Referensi
- ^ a b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-09-08.
- ^ Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Diakses tanggal September 8, 2020.
- ^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
- ^ T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
- ^ "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Diakses tanggal 4 Feb 2021.
- ^ "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Diakses tanggal 4 Feb 2021.
- ^ Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08.
- ^ Gilbert Strang (2006) Linear Algebra and its Applications 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6
Daftar pustaka
- Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
- Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. hlm. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
- Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
- Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
- Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. hlm. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.
Pranala luar
- Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware