Konstanta Apéry: Perbedaan antara revisi

l; b; s; Bilangan irasional
Berdasarkan huruf Latin	(Backhouse) (Konstanta Brun); ; (Sudut emas); ; (Catalan – Niven – Porter) (Champernowne basis 10); (Artin); (Konstanta Gelfond–Schneider); (MRB); (Viswanath); (Copeland–Erdős); (Feller–Tornier); ; ; (Dottie); ; (Erdős–Borwein); (Euler) (Khinchin-Lévy); (Gelfond; ; (Fransén–Robinson) (Foias); (Foias); ; ; (Euler–Gompertz – Gauss); (Mimpi Sophomore); (Mimpi Sophomore); ; ; (Landau–Ramanujan – Sierpiński); (Bloch–Landau); (Konstanta parabola semesta); ; (Komornik–Loreti); (Hermite–Ramanujan);
Berdasarkan huruf Yunani	(Feigenbaum); (Khinchin-Lévy) (Baker); ; ; (Euler–Mascheroni) (Hermite); ; ; (Mills) (Sudut ajaib); ; ; (Conway – Limit Laplace – Golomb–Dickman) (Chebyshev); ; ; (Ramanujan–Soldner); (Cahen); ; ; (Archimedes) (van der Pauw); (Gieseking; ; (Konstanta lemniskat); (Kepler–Bouwkamp – Prima – Siegel); (Hafner–Sarnak–McCurley); (emas); (superemas); (Chaitin – Omega);
Berdasarkan fungsi	(Konstanta Robinson); (Raabe); (Masalah Basel) (Nielsen–Ramanujan); (Favard); ; (Apéry);
Berdasarkan akar kuadrat (2)	2; 3; 5; 6; 7; 8; 10; ;
Berdasarkan akar kubik (3)	2;
Berdasarkan logaritma	(2);
Berdasarkan simbol lain	(Liouville); (Lochs);
Biner	1.0011001110111010…
Desimal	1.2020569031595942854…
Heksadesimal	1.33BA004F00621383…
Pecahan lanjutan	; Perhatikan bahwa pecahan lanjutan ini tidak terbatas, tetapi tidak diketahui apakah pecahan lanjutan ini berkala atau bukan.

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Sebaris

Revisi per 18 April 2021 16.17

Dalam matematika, di persimpangan teori bilangan dan fungsi khusus, Konstanta Apéry adalah jumlah dari kebalikan dari kubus positif. Artinya, ini didefinisikan sebagai angka

{\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)\end{aligned}}

dimana $ζ$ adalah fungsi Riemann zeta. Ini memiliki nilai perkiraan^[1]

ζ (3) = 1.20205 6903159594285399738161511449990764986292 \dots

(barisan A002117 pada OEIS).

konstanta dinamai Roger Apéry. Ini muncul secara alami dalam sejumlah masalah fisik, termasuk dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron menggunakan elektrodinamika kuantum. Ini juga muncul dalam analisis pohon rentang minimum acak^[2] dan dalam hubungannya dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi yang kadang-kadang muncul dalam fisika, misalnya ketika mengevaluasi kasus dua dimensi model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

Bilangan irasional

$ζ (3)$ dinamai Konstanta Apéry setelah ahli matematika Prancis Roger Apéry, yang membuktikan pada tahun 1978 bahwa itu adalah bilangan irasional.^[3] Hasil ini dikenal sebagai Teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,^[4] dan bukti yang lebih sederhana ditemukan kemudian.^[5]^[6]

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integral dari integral rangkap tiga yang diketahui $\zeta (3)$ ,

\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,

oleh polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten mencatat pendekatan ini dengan mencatat hal itu

I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},

dimana $|I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}$ , $P_{n}(z)$ adalah polinomial Legendre, dan urutan $b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z}$ adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat.

Masih belum diketahui apakah konstanta Apéry adalah transendental.

Wakilan deret

Klasik

Selain deret dasar:

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},

Leonhard Euler memberikan wakilan deret:^[7]

\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)

pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali beberapa kali.^[8]

Wakilan deret klasik lainnya termasuk:

{\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}\\\zeta (3)&={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}\end{aligned}}

Kekonvergenan cepat

Sejak abad ke-19, sejumlah ahli matematika telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung tempat desimal $ζ (3)$ . Sejak tahun 1990-an, pencarian ini telah difokuskan pada rangkaian yang efisien secara komputasi dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Wakilan deret berikut ditemukan oleh A.A. Markov pada tahun 1890^[9], ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,^[10] dan ditemukan kembali sekali lagi dan diiklankan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:^[3]

\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996,^[11] memberikan (secara asimtotik) 1,43 tempat desimal koreksi baru per suku:

\zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997,^[12] memberikan (secara asimtotik) 3,01 tempat desimal koreksi baru per suku:

\zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998,^[13] memberikan (tanpa gejala) 5,04 tempat desimal koreksi baru per suku:

\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}

Ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapa juta tempat desimal yang benar.^[14]

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005,^[15] memberikan (secara asimtotik) 3.92 tempat desimal koreksi baru per suku:

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}

Digit demi digit

Pada tahun 1998, Broadhurst^[16] memberikan wakilan deret yang memungkinkan digit biner sembarang untuk dihitung, dan dengan demikian, untuk tetapan yang akan diperoleh di waktu linier dekat, dan ruang logaritma.

Lainnya

Wakilan deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:^[17]

\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}

Wakilan deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:^[18]

\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.

Srivastava^[19] mengumpulkan banyak deret yang menyatu dengan tetapan Apéry.

Wakilan integral

Ada banyak wakilan integral untuk tetapan Apéry. Beberapa di antaranya sederhana, yang lainnya lebih rumit.

Rumus sederhana

Sebagai contoh, berikut ini dari wakilan penjumlahan untuk konstanta Apéry:

\zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz

.

Dua berikutnya mengikuti langsung dari rumus integral terkenal untuk fungsi Riemann zeta:

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx

dan

\zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx

.

Yang ini mengikuti dari pengembangan Taylor $χ 3 (e ix)$ tentang $x = \pm π 2$ , dimana $χ ν (z)$ adalah fungsi chi Legendre:

\zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log {(\sec {x}+\tan {x})}\,dx

Perhatikan kesamaannya dengan

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\log {(\sec {x}+\tan {x})}\,dx

dimana $G$ adalah tetapan Catalan.

Rumus yang lebih rumit

Contohnya, salah satu rumus ditemukan oleh Johan Jensen:^[20]

\zeta (3)=\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx

,

lainnya oleh F. Beukers:^[5]

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{\,xy\,}}\,dx\,dy

,

Dengan mencampurkan kedua rumus ini, seseorang dapat memperoleh:

\zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!{\frac {\log(x)\log(1-x)}{\,x\,}}\,dx

,

Oleh simetri,

\zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!{\frac {\log(x)\log(1-x)}{\,1-x\,}}\,dx

,

Menjumlahkan keduanya,

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!{\frac {\log(x)\log(1-x)}{\,x(1-x)\,}}\,dx

.

Satu lagi oleh Iaroslav Blagouchine:^[21]

{\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\end{aligned}}

.

Hubungan Evgrafovto dengan yang lain untuk turunan dari fungsi gamma

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

juga sangat berguna untuk penurunan berbagai representasi integral melalui rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.^[22]

Digit yang diketahui

Jumlah digit konstanta Apéry yang diketahui $ζ (3)$ has meningkat secara dramatis selama beberapa dekade terakhir. Ini disebabkan oleh peningkatan kinerja komputer dan peningkatan algoritme.

Jumlah digit desimal konstanta Apéry yang diketahui $ζ (3)$
Tanggal	Angka desimal	Perhitungan dilakukan oleh
1735	16	Leonhard Euler
tak diketahui	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520.000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1.000.000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
Mei 1997	10.536.006	Patrick Demichel
Februari 1998	14.000.074	Sebastian Wedeniwski
Maret 1998	32.000.213	Sebastian Wedeniwski
Juli 1998	64.000.091	Sebastian Wedeniwski
Desember 1998	128.000.026	Sebastian Wedeniwski^[1]
September 2001	200.001.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2002	600.001.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2003	1.000.000.000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon^[23]
April 2006	10.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Januari 21, 2009	15.510.000.000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[24]
Februari 15, 2009	31.026.000.000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[24]
September 17, 2010	100.000.001.000	Alexander J. Yee^[25]
September 23, 2013	200.000.001.000	Robert J. Setti^[25]
Agustus 7, 2015	250.000.000.000	Ron Watkins^[25]
Desember 21, 2015	400.000.000.000	Dipanjan Nag^[26]
Agustus 13, 2017	500.000.000.000	Ron Watkins^[25]
Mei 26, 2019	1.000.000.000.000	Ian Cutress^[27]
Juli 26, 2020	1.200.000.000.100	Seungmin Kim^[28]^[29]

Lihat pula

Catatan

^ ^a ^b Lihat Wedeniwski 2001.
^ Lihat Frieze 1985.
^ ^a ^b Lihat Apéry 1979.
^ Lihat van der Poorten 1979.
^ ^a ^b See Beukers 1979.
^ Lihat Zudilin 2002.
^ Lihat Euler 1773.
^ Lihat Srivastava 2000, p. 571 (1.11).
^ Lihat Markov 1890.
^ Lihat Hjortnaes 1953.
^ Lihat Amdeberhan 1996.
^ Lihat Amdeberhan & Zeilberger 1997.
^ Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan rumus ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. Penemuannay tahun (1998) disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).
^ Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001.
^ Lihat Mohammed 2005.
^ Lihat Broadhurst 1998.
^ Lihat Berndt 1989, bab 14, rumus 25.1 dan 25.3.
^ Lihat Plouffe 1998.
^ Lihat Srivastava 2000.
^ Lihat Jensen 1895.
^ Lihat Blagouchine 2014.
^ Lihat Evgrafov et al. 1969, latihan 30.10.1.
^ Lihat Gourdon & Sebah 2003.
^ ^a ^b Lihat Yee 2009.
^ ^a ^b ^c ^d Lihat Yee 2017.
^ Lihat Nag 2015.
^ "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019.
^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal August 10, 2020.
^ "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diakses tanggal July 28, 2020.

Referensi

Amdeberhan, Tewodros (1996), "Faster and faster convergent series for $\zeta (3)$ ", El. J. Combinat., 3 (1) .
Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron (1997), "Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method", El. J. Combinat., 4 (2), arXiv:math/9804121 , Bibcode:1998math......4121A .
Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de $\zeta 2$ et $\zeta 3$ ", Astérisque, 61: 11–13 .
Berndt, Bruce C. (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer .
Beukers, F. (1979), "A Note on the Irrationality of $\zeta (2)$ and $\zeta (3)$ ", Bull. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112/blms/11.3.268 .
Blagouchine, Iaroslav V. (2014), "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results", The Ramanujan Journal, 35 (1): 21–110, doi:10.1007/s11139-013-9528-5 .
Broadhurst, D.J. (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta (3)$ and $\zeta (5)$ , arXiv:math.CA/9803067  .
Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (dalam bahasa Latin), 17: 173–204, diakses tanggal 2008-05-18 .
Evgrafov, M. A.; Bezhanov, K. A.; Sidorov, Y. V.; Fedoriuk, M. V.; Shabunin, M. I. (1969), A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian], Moscow: Nauka .
Frieze, A. M. (1985), "On the value of a random minimum spanning tree problem", Discrete Applied Mathematics, 10 (1): 47–56, doi:10.1016/0166-218X(85)90058-7, MR 0770868 .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), The Apéry's constant: $\zeta (3)$ .
Hjortnaes, M. M. (August 1953), Overføring av rekken $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)$ til et bestemt integral, in Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund, Sweden: Scandinavian Mathematical Society, hlm. 211–213 .
Jensen, Johan Ludwig William Valdemar (1895), "Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver", L'Intermédiaire des Mathématiciens, II: 346–347 .
Markov, A.A. (1890), "Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes", Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, No. 9: 18pp .
Mohammed, Mohamud (2005), "Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7: 11–24 .
Mollin, Richard A. (2009), Advanced Number Theory with Applications, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, hlm. 220, ISBN 9781420083293 .
Plouffe, Simon (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II .
Plouffe, Simon, Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places .
Ramaswami, V. (1934), "Notes on Riemann's $\zeta$ -function", J. London Math. Soc., 9 (3): 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165 .
Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4): 267–270, arXiv:math/0008051 , Bibcode:2000CRASM.331..267R, doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4 .
Setti, Robert J. (2015), Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits, diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-10-08 .
Srivastava, H. M. (December 2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, 4 (4): 569–599, doi:10.11650/twjm/1500407293, OCLC 36978119, diakses tanggal 2015-08-22 .
van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $\zeta (3)$ " (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-07-06 .
Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe, ed., The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
Wedeniwski, Sebastian (13 December 1998), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
Weisstein, Eric W. "Apéry's constant". MathWorld.
Yee, Alexander J. (2009), Large Computations .
Yee, Alexander J. (2017), Zeta(3) - Apéry's Constant

Nag, Dipanjan (2015), Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record
Zudilin, Wadim (2001), "One of the numbers $\zeta (5)$ , $\zeta (7)$ , $\zeta (9)$ , $\zeta (11)$ is irrational", Russ. Math. Surv., 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427 .
Zudilin, Wadim (2002), An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159 , Bibcode:2002math......2159Z .

Kredit

Templat:PlanetMath attribution

[Wedeniwski_2001-1] Lihat Wedeniwski 2001.

[2] Lihat Frieze 1985.

[Apery-1979-3] Lihat Apéry 1979.

[4] Lihat van der Poorten 1979.

[Beukers_1979-5] See Beukers 1979.

[6] Lihat Zudilin 2002.

[7] Lihat Euler 1773.

[8] Lihat Srivastava 2000, p. 571 (1.11).

[9] Lihat Markov 1890.

[10] Lihat Hjortnaes 1953.

[11] Lihat Amdeberhan 1996.

[12] Lihat Amdeberhan & Zeilberger 1997.

[13] Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan rumus ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. Penemuannay tahun (1998) disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).

[14] Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001.

[15] Lihat Mohammed 2005.

[16] Lihat Broadhurst 1998.

[17] Lihat Berndt 1989, bab 14, rumus 25.1 dan 25.3.

[18] Lihat Plouffe 1998.

[19] Lihat Srivastava 2000.

[20] Lihat Jensen 1895.

[iaroslav_06-21] Lihat Blagouchine 2014.

[22] Lihat Evgrafov et al. 1969, latihan 30.10.1.

[23] Lihat Gourdon & Sebah 2003.

[Yee-2009-24] Lihat Yee 2009.

[Yee-2017-25] Lihat Yee 2017.

[Nag-2015-26] Lihat Nag 2015.

[27] "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019.

[28] "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal August 10, 2020.

[29] "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diakses tanggal July 28, 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

@@ Baris 20: / Baris 20: @@
 :<math>\begin{align}\zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \\&= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right)\end{align}</math>
-dimana {{math|''ζ''}} adalah [[fungsi Riemann zeta]]. Ini memiliki nilai perkiraan<ref name="Wedeniwski 2001">See {{harvnb|Wedeniwski|2001}}.</ref>
+dimana {{math|''ζ''}} adalah [[fungsi Riemann zeta]]. Ini memiliki nilai perkiraan<ref name="Wedeniwski 2001">Lihat {{harvnb|Wedeniwski|2001}}.</ref>
 :{{math|''ζ''(3) {{=}} {{gaps|1.20205|69031|59594|28539|97381|61511|44999|07649|86292|…}}}} {{OEIS|id=A002117}}.
@@ Baris 27: / Baris 27: @@
 == Bilangan irasional ==
-{{math|''ζ''(3)}} dinamai ''Konstanta Apéry'' setelah ahli matematika Prancis [[Roger Apéry]], yang membuktikan pada tahun 1978 bahwa itu adalah [[bilangan irasional]].<ref name="Apery-1979">See {{harvnb|Apéry|1979}}.</ref> Hasil ini dikenal sebagai ''[[Teorema Apéry]]''. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,<ref>See {{harvnb|van der Poorten|1979}}.</ref> dan bukti yang lebih sederhana ditemukan kemudian.<ref name="Beukers 1979">See {{harvnb|Beukers|1979}}.</ref><ref>See {{harvnb|Zudilin|2002}}.</ref>
+{{math|''ζ''(3)}} dinamai ''Konstanta Apéry'' setelah ahli matematika Prancis [[Roger Apéry]], yang membuktikan pada tahun 1978 bahwa itu adalah [[bilangan irasional]].<ref name="Apery-1979">Lihat {{harvnb|Apéry|1979}}.</ref> Hasil ini dikenal sebagai ''[[Teorema Apéry]]''. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,<ref>Lihat {{harvnb|van der Poorten|1979}}.</ref> dan bukti yang lebih sederhana ditemukan kemudian.<ref name="Beukers 1979">See {{harvnb|Beukers|1979}}.</ref><ref>Lihat {{harvnb|Zudilin|2002}}.</ref>
 Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integral dari integral rangkap tiga yang diketahui <math>\zeta(3)</math>,
 :<math>\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math>
-oleh [[polinomial Legendre]].
+oleh [[polinomial Legendre]]. Secara khusus, artikel van der Poorten mencatat pendekatan ini dengan mencatat hal itu
-Secara khusus, artikel van der Poorten mencatat pendekatan ini dengan mencatat hal itu
 :<math>I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, </math>
@@ Baris 41: / Baris 40: @@
 Masih belum diketahui apakah konstanta Apéry adalah [[bilangan transendental|transendental]].
-== Representasi deret ==
+== Wakilan deret ==
 === Klasik ===
-Selain deret fundamental:
+Selain deret dasar:
 :<math>\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>
-[[Leonhard Euler]] memberikan representasi deret:<ref>See {{harvnb|Euler|1773}}.</ref>
+[[Leonhard Euler]] memberikan wakilan deret:<ref>Lihat {{harvnb|Euler|1773}}.</ref>
 :<math>\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {2^{2k}(2k+1)(2k+2)} \right)</math>
-pada 1772, yang kemudian ditemukan kembali beberapa kali.<ref>See {{harvnb|Srivastava|2000|loc=p. 571 (1.11)}}.</ref>
+pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali beberapa kali.<ref>Lihat {{harvnb|Srivastava|2000|loc=p. 571 (1.11)}}.</ref>
-Representasi deret klasik lainnya termasuk:
+Wakilan deret klasik lainnya termasuk:
 :<math>\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} \\ \zeta(3) &= \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3} \end{align}</math>
-=== Konvergensi cepat ===
+=== Kekonvergenan cepat ===
 Sejak abad ke-19, sejumlah ahli matematika telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung tempat desimal {{math|''ζ''(3)}}. Sejak tahun 1990-an, pencarian ini telah difokuskan pada rangkaian yang efisien secara komputasi dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "[[#Digit yang diketahui|Digit yang diketahui]]").
-Representasi seri berikut ditemukan oleh A.A. Markov pada tahun 1890<ref>See {{harvnb|Markov|1890}}.</ref>, rediscovered by Hjortnaes in 1953,<ref>See {{harvnb|Hjortnaes|1953}}.</ref> dan ditemukan kembali sekali lagi dan diiklankan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<ref name="Apery-1979" />
+Wakilan deret berikut ditemukan oleh A.A. Markov pada tahun 1890<ref>Lihat {{harvnb|Markov|1890}}.</ref>, ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,<ref>Lihat {{harvnb|Hjortnaes|1953}}.</ref> dan ditemukan kembali sekali lagi dan diiklankan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<ref name="Apery-1979" />
 :<math>\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)!k^3}</math>
-Representasi seri berikut, ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996,<ref>See {{harvnb|Amdeberhan|1996}}.</ref> memberikan (tanpa gejala) 1,43 tempat desimal baru yang benar per suku:
+Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996,<ref>Lihat {{harvnb|Amdeberhan|1996}}.</ref> memberikan (secara asimtotik) 1,43 tempat desimal koreksi baru per suku:
 :<math>\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!^3(56k^2 - 32k + 5)}{(2k-1)^2(3k)!}</math>
-Representasi seri berikut, ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997,<ref>See {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}.</ref> memberikan (tanpa gejala) 3,01 tempat desimal baru yang benar per suku:
+Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997,<ref>Lihat {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}.</ref> memberikan (secara asimtotik) 3,01 tempat desimal koreksi baru per suku:
 :<math>\zeta(3) = \frac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{k!^{10}(205k^2 + 250k + 77)}{(2k+1)!^5}</math>
-Representasi seri berikut, ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998,<ref>See {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan formula ini dari {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. The discovery year (1998) is mentioned in [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 April 2001).</ref> memberikan (tanpa gejala) 5,04 tempat desimal baru yang benar per suku:
+Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998,<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan rumus ini dari {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. Penemuannay tahun (1998) disebutkan dalam [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 April 2001).</ref> memberikan (tanpa gejala) 5,04 tempat desimal koreksi baru per suku:
 :<math>\zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k+1)!^3(2k)!^3k!^3(126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^3}</math>
-Ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapa juta tempat desimal yang benar.<ref>See {{harvnb|Wedeniwski|1998}} and {{harvnb|Wedeniwski|2001}}.</ref>
+Ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapa juta tempat desimal yang benar.<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}.</ref>
-Representasi deret berikut, ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005,<ref>See {{harvnb|Mohammed|2005}}.</ref> gives (asymptotically) 3.92 new correct decimal places per term:
+Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005,<ref>Lihat {{harvnb|Mohammed|2005}}.</ref> memberikan (secara asimtotik) 3.92 tempat desimal koreksi baru per suku:
 :<math>\zeta(3) = \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!^3(k+1)!^6(40885k^5 + 124346k^4 + 150160k^3 + 89888k^2 + 26629k + 3116)}{(k+1)^2(3k+3)!^4}</math>
 === Digit demi digit ===
-Pada tahun 1998, Broadhurst<ref>See {{harvnb|Broadhurst|1998}}.</ref> memberikan representasi seri yang memungkinkan [[digit biner]] sembarang untuk dihitung, dan dengan demikian, untuk konstanta yang akan diperoleh di hampir [[waktu linier]], dan [[ruang logaritma]].
+Pada tahun 1998, Broadhurst<ref>Lihat {{harvnb|Broadhurst|1998}}.</ref> memberikan wakilan deret yang memungkinkan [[digit biner]] sembarang untuk dihitung, dan dengan demikian, untuk tetapan yang akan diperoleh di  [[waktu linier]] dekat, dan [[ruang logaritma]].
 === Lainnya ===
-Representasi rangkaian berikut ditemukan oleh [[Ramanujan]]:<ref>See {{harvnb|Berndt|1989|loc=chapter 14, formulas 25.1 and 25.3}}.</ref>
+Wakilan deret berikut ditemukan oleh [[Ramanujan]]:<ref>Lihat {{harvnb|Berndt|1989|loc=bab 14, rumus 25.1 dan 25.3}}.</ref>
 :<math>\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}</math>
-Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Simon Plouffe]] pada tahun 1998:<ref>See {{harvnb|Plouffe|1998}}.</ref>
+Wakilan deret berikut ditemukan oleh [[Simon Plouffe]] pada tahun 1998:<ref>Lihat {{harvnb|Plouffe|1998}}.</ref>
 :<math>\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}-\frac{11}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}-\frac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.</math>
-Srivastava<ref>See {{harvnb|Srivastava|2000}}.</ref> mengumpulkan banyak seri yang menyatu dengan konstanta Apéry.
+Srivastava<ref>Lihat {{harvnb|Srivastava|2000}}.</ref> mengumpulkan banyak deret yang menyatu dengan tetapan Apéry.
-== Representasi integral ==
+== Wakilan integral ==
-Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Beberapa di antaranya sederhana, yang lainnya lebih rumit.
+Ada banyak wakilan integral untuk tetapan Apéry. Beberapa di antaranya sederhana, yang lainnya lebih rumit.
 === Rumus sederhana ===
-Sebagai contoh, berikut ini dari representasi penjumlahan untuk konstanta Apéry:
+Sebagai contoh, berikut ini dari wakilan penjumlahan untuk konstanta Apéry:
 :<math>\zeta(3) =\int_0^1\!\! \int_0^1\!\! \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\,dy\,dz </math>.
@@ Baris 97: / Baris 96: @@
 :<math>\zeta(3) =\frac{2}{3}\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x+1}\, dx </math>.
-Yang ini mengikuti dari ekspansi Taylor {{math|''χ''<sub>3</sub>(''e<sup>ix</sup>'')}} tentang {{math|''x'' {{=}} ±{{sfrac|π|2}}}}, dimana {{math|''χ''<sub>''ν''</sub>(''z'')}} adalah [[fungsi Legendre chi]]:
+Yang ini mengikuti dari pengembangan Taylor {{math|''χ''<sub>3</sub>(''e<sup>ix</sup>'')}} tentang {{math|''x'' {{=}} ±{{sfrac|π|2}}}}, dimana {{math|''χ''<sub>''ν''</sub>(''z'')}} adalah [[fungsi chi Legendre]]:
 :<math>\zeta(3) =\frac{4}{7}\int_0^\frac{\pi}{2} x \log{(\sec{x}+\tan{x})}\, dx </math>
 Perhatikan kesamaannya dengan
 :<math>G =\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} \log{(\sec{x}+\tan{x})}\, dx </math>
-dimana {{mvar|G}} adalah [[Konstanta Catalan]].
+dimana {{mvar|G}} adalah [[tetapan Catalan]].
 === Rumus yang lebih rumit ===
-Contohnya, satu rumus ditemukan oleh [[Johan Jensen (matematikawan)|Johan Jensen]]:<ref>See {{harvnb|Jensen|1895}}.</ref>
+Contohnya, salah satu rumus ditemukan oleh [[Johan Jensen (matematikawan)|Johan Jensen]]:<ref>Lihat {{harvnb|Jensen|1895}}.</ref>
 :<math>\zeta(3)=\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2}\, dx</math>,
 lainnya oleh F. Beukers:<ref name="Beukers 1979"/>
@@ Baris 110: / Baris 109: @@
 Dengan mencampurkan kedua rumus ini, seseorang dapat memperoleh:
 :<math>\zeta(3) =\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,x\,}\, dx </math>,
+Oleh simetri,
-By symmetry,
 :<math>\zeta(3) =\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,1-x\,}\, dx </math>,
+Menjumlahkan keduanya,
-Summing both,
-<math>\zeta(3) =\frac{1}{2}\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,x(1-x)\,}\, dx </math>.
+:<math>\zeta(3) =\frac{1}{2}\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,x(1-x)\,}\, dx </math>.
-Satu lagi oleh Iaroslav Blagouchine:<ref name="iaroslav_06">See {{harvnb|Blagouchine|2014}}.</ref>
+Satu lagi oleh Iaroslav Blagouchine:<ref name="iaroslav_06">Lihat {{harvnb|Blagouchine|2014}}.</ref>
 :<math>\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \\&= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx\end{align}</math>.
+Hubungan Evgrafovto dengan yang lain untuk turunan dari [[fungsi gamma]]
-Evgrafov et al.'s connection to the derivatives of the [[gamma function]]
 :<math>\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}\Gamma'''(1)+\tfrac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- \big(\Gamma'(1)\big)^3 = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)</math>
-juga sangat berguna untuk penurunan berbagai representasi integral melalui rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligami]].<ref>See {{harvnb|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969|loc=exercise 30.10.1}}.</ref>
+juga sangat berguna untuk penurunan berbagai representasi integral melalui rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligamma]].<ref>Lihat {{harvnb|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969|loc=latihan 30.10.1}}.</ref>
 == Digit yang diketahui ==
@@ Baris 126: / Baris 126: @@
 {| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
 |+ Jumlah digit desimal konstanta Apéry yang diketahui {{math|''ζ''(3)}}
-! Date || Angka desimal || Perhitungan dilakukan oleh
+! Tanggal || Angka desimal || Perhitungan dilakukan oleh
 |-
 | 1735 ||align="right"| 16 || [[Leonhard Euler]]
 |-
-| unknown ||align="right"| 16 || [[Adrien-Marie Legendre]]
+| tak diketahui || align="right" | 16 || [[Adrien-Marie Legendre]]
 |-
 | 1887 ||align="right"| 32 || [[Thomas Joannes Stieltjes]]
@@ Baris 152: / Baris 152: @@
 | Februari 2002 ||align="right"| {{val|600001000}} || Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
 |-
-| Februari 2003 ||align="right"| {{val|1000000000}} || Patrick Demichel & Xavier Gourdon<ref>See {{harvnb|Gourdon|Sebah|2003}}.</ref>
+| Februari 2003 ||align="right"| {{val|1000000000}} || Patrick Demichel & Xavier Gourdon<ref>Lihat {{harvnb|Gourdon|Sebah|2003}}.</ref>
 |-
 | April 2006 ||align="right"| {{val|10000000000}} || Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
 |-
-| Januari 21, 2009 ||align="right"| {{val|15510000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009">See {{harvnb|Yee|2009}}.</ref>
+| Januari 21, 2009 ||align="right"| {{val|15510000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009">Lihat {{harvnb|Yee|2009}}.</ref>
 |-
 | Februari 15, 2009 ||align="right"| {{val|31026000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009" />
 |-
-| September 17, 2010 ||align="right"| {{val|100000001000}} || Alexander J. Yee<ref name="Yee-2017">See {{harvnb|Yee|2017}}.</ref>
+| September 17, 2010 ||align="right"| {{val|100000001000}} || Alexander J. Yee<ref name="Yee-2017">Lihat {{harvnb|Yee|2017}}.</ref>
 |-
 | September 23, 2013 ||align="right"| {{val|200000001000}} || Robert J. Setti<ref name="Yee-2017" />
@@ Baris 166: / Baris 166: @@
 | Agustus 7, 2015 ||align="right"| {{val|250000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />
 |-
-| Desember 21, 2015 ||align="right"| {{val|400000000000}} || Dipanjan Nag<ref name="Nag-2015">See {{harvnb|Nag|2015}}.</ref>
+| Desember 21, 2015 ||align="right"| {{val|400000000000}} || Dipanjan Nag<ref name="Nag-2015">Lihat {{harvnb|Nag|2015}}.</ref>
 |-
 | Agustus 13, 2017 ||align="right"| {{val|500000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />
@@ Baris 176: / Baris 176: @@
 == Lihat pula ==
-*[[Fungsi Riemann zeta]]
+*[[Fungsi zeta Riemann]]
 *[[Masalah Basel]] — {{math|''ζ''(2)}}
 *[[Daftar jumlah timbal balik]]

l b s Bilangan irasional
Berdasarkan huruf Latin	$B$ (Backhouse) $B_{2}$ (Konstanta Brun) $b$ (Sudut emas) $C$ (Catalan – Niven – Porter) $C_{10}$ (Champernowne basis 10) $C_{\text{Artin}}$ (Artin) $C_{\text{GS}}$ (Konstanta Gelfond–Schneider) $C_{\text{MRB}}$ (MRB) $C_{\text{Vi}}$ (Viswanath) ${\mathcal {C}}_{\text{CE}}$ (Copeland–Erdős) ${\mathcal {C}}_{\text{FR}}$ (Feller–Tornier) $D$ $d$ (Dottie) $E$ (Erdős–Borwein) $e$ (Euler) $e^{\beta }$ (Khinchin-Lévy) $e^{\pi }$ (Gelfond $F$ (Fransén–Robinson) $F_{\alpha }$ (Foias) $F_{\beta }$ (Foias) $G$ (Euler–Gompertz – Gauss) $I$ $I_{1}$ (Mimpi Sophomore) $I_{2}$ (Mimpi Sophomore) $K$ (Landau–Ramanujan – Sierpiński) $L$ (Bloch–Landau) $P$ $P_{2}$ (Konstanta parabola semesta) $q$ (Komornik–Loreti) $R$ (Hermite–Ramanujan)
Berdasarkan huruf Yunani	$\alpha$ (Feigenbaum) $\beta$ (Khinchin-Lévy) $\beta _{3}$ (Baker) $\gamma$ (Euler–Mascheroni) $\gamma _{2}$ (Hermite) $\theta$ (Mills) $\theta _{m}$ (Sudut ajaib) $\lambda$ (Conway – Limit Laplace – Golomb–Dickman) $\lambda _{\text{Ch}}$ (Chebyshev) $\mu$ (Ramanujan–Soldner) $\xi$ $\xi _{2}$ (Cahen) $\pi$ (Archimedes) ${\frac {1}{12}}\pi$ (van der Pauw) $\pi \ln \beta$ (Gieseking $\varpi$ (Konstanta lemniskat) $\rho$ (Kepler–Bouwkamp – Prima – Siegel) $\sigma$ (Hafner–Sarnak–McCurley) $\varphi$ (emas) $\psi$ (superemas) $\Omega$ (Chaitin – Omega)
Berdasarkan fungsi	$\Delta (3)$ (Konstanta Robinson) $\zeta '(0)$ (Raabe) $\zeta (2)$ (Masalah Basel) ${\frac {1}{2}}\zeta (2)$ (Nielsen–Ramanujan) ${\frac {3}{4}}\zeta (2)$ (Favard) $\zeta (3)$ (Apéry)
Berdasarkan akar kuadrat (2)	2 3 5 6 7 8 10 $\dots$
Berdasarkan akar kubik (3)	2
Berdasarkan logaritma	$\ln$ (2)
Berdasarkan simbol lain	${\text{£}}_{\text{Li}}$ (Liouville) ${\text{£}}_{\text{Li}}$ (Lochs)