Grup dasar

Untuk grup fundamental suatu faktor, lihat Aljabar Von Neumann.

Dalam bidang matematika dan topologi aljabar, grup fundamental dari ruang topologi adalah grup kelas ekuivalen di bawah homotopi dengan loop dalam ruang. Informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Grup fundamental adalah grup homotopi sederhana. Grup fundamental adalah homotopi invarian dari ruang topologi ekuivalen homotopi (atau dalam kasus dari homeomorfik) dengan isomorfik.

Intuisi

Dengan ruang (misalnya, permukaan), dan beberapa titik, dan loop dan titik jalur ke titik awal. Dua loop dapat digabungkan dengan: loop pertama ke loop kedua. Dua loop ekuivalen jika salah satu dapat dideformasi menjadi loop lainnya tanpa putus. Himpunan loop dengan metode penggabungan dan ekuivalen di antara grup fundamental untuk ruang.

Sejarah

Henri Poincaré mendefinisikan grup fundamental pada tahun 1895 dalam makalah "Situs Analisis". Konsep tersebut muncul dalam teori permukaan Riemann, dalam karya Bernhard Riemann, Poincaré, dan Felix Klein. Sifat monodromi dari fungsi bernilai kompleks, serta klasifikasi permukaan tertutup topologi lengkap.

Definisi

X adalah ruang topologi, contoh tipikal adalah permukaan digambarkan di sebelah kanan. Selain itu, $x_{0}$ adalah titik di X yang disebut titik dasar. Gagasan dari definisi grup homotopi adalah untuk mengukur berapa kurva pada X yang dideformasi satu sama lain. Definisi tergantung pada pengertian homotopi loop, yang akan dijelaskan terlebih dahulu.

Homotopi loop

Ruang topologi X dari loop berbasis $x_{0}$ didefinisikan sebagai fungsi kontinu (juga dikenal sebagai peta kontinu)

$\gamma \colon [0,1]\to X$

sehingga titik awal $\gamma (0)$ dan titik akhir $\gamma (1)$ adalah $x_{0}$.

Homotopy of loops

Homotopi adalah interpolasi kontinu antara dua loop. Lebih tepatnya, homotopi antara dua loop $\gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X$ (berbasis titik $x_{0}$) adalah peta kontinu

$h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,$

maka

• $h(0,t)=x_{0}$ untuk $t\in [0,1],$ bagian titik awal homotopi adalah $x_{0}$ untuk t (sebagai parameter waktu).
• $h(1,t)=x_{0}$ untuk $t\in [0,1],$ bagian titik akhir tetap $x_{0}$ untuk t.
• $h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)=\gamma '(r)$ untuk $r\in [0,1]$.

Jika homotopi h dari $\gamma$ dan $\gamma '$ adalah homotopik. Relasi "$\gamma$ adalah homotopik $\gamma '$" dengan relasi ekuivalen pada himpunan kelas ekuivalen dengan:

$\pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{loop }}\gamma {\text{ berdasarkan }}x_{0}\}/{\text{homotopi}}$.

Himpunan (dengan struktur grup yang dijelaskan di bawah) tersebut adalah grup fundamental dari ruang topologi X pada titik dasar $x_{0}$. Tujuan dari kelas ekuivalen dari loop hingga homotopi, sebagai lawan dari himpunan loop (yang disebut ruang loop dari X) adalah titik akhir, meskipun berguna untuk berbagai tujuan dari objek yang besar dan berat.

Struktur grup

Penambahan loop

Dengan definisi di atas, $\pi _{1}(X,x_{0})$ adalah satu himpunan, grup (dan karena grup fundamental) menggunakan rangkaian loop. Lebih tepatnya, dua loop $\gamma _{0},\gamma _{1}$, produk didefinisikan sebagai loop

${\begin{aligned}\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]&\to X\\(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)&={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}\end{aligned}}$

Maka loop $\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}$ pertama loop $\gamma _{0}$ dengan "dua kali kecepatan" dan kemudian $\gamma _{1}$ dengan "dua kali kecepatan".

Produk dari dua kelas homotopi loop $[\gamma _{0}]$ dan $[\gamma _{1}]$ kemudian didefinisikan sebagai $[\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]$. Dapat ditunjukkan, produk tidak bergantung pada pilihan perwakilan dan oleh karena itu operasi yang terdefinisi dengan himpunan $\pi _{1}(X,x_{0})$. Operasi $\pi _{1}(X,x_{0})$ ke dalam grup elemen netral loop konstan $x_{0}$ untuk t. Invers dari loop (kelas homotopi) adalah loop yang sama, tetapi dilintasi dalam oposisi

$\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$.

Tiga loop berbasis $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},$ produk

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}$

adalah gabungan dari loop $\gamma _{0}$ sehingga $\gamma _{1}$ dengan kecepatan kuadurupel, maka $\gamma _{2}$ dengan kecepatan ganda,

$\gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})$

jalur yang sama (dalam urutan yang sama), tetapi $\gamma _{0}$ dengan kecepatan ganda, dan $\gamma _{1},\gamma _{2}$ dengan kecepatan kuadurupel. Jadi, karena perbedaan kecepatan, kedua jalur tersebut tidak identik. Aksioma asosiatif

$[\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]$

oleh karena itu sangat bergantung pada jalur homotopi. Kedua komposit di atas adalah homotopik, misalnya, pada loop yang melintasi ketiga loop $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}$ dengan kecepatan tripel. Himpunan loop berbasis hingga homotopi, digunakan dengan operasi di atas karenanya $\pi _{1}(X,x_{0})$ ke grup.

Ketergantungan pada titik dasar

Meskipun grup fundamental pada umumnya bergantung pada pilihan titik dasar, ternyata hingga isomorfisme (sebenarnya, bahkan hingga isomorfisme dalam), pilihan tidak bedanya dengan ruang X adalah jalan koneksi. Untuk ruang terhubung dengan jalur, banyak penulis menggunakan $\pi _{1}(X)$ dari $\pi _{1}(X,x_{0})$.

Contoh konkret

Domain bintang terhubung dengan loop konkret ke pusat domain, dilambangkan dengan $x_{0}$.

Bagian ini mencantumkan beberapa contoh dasar dari kelompok fundamental. Pertama, ruang Euklides ($\mathbb {R} ^{n}$) atau himpunan bagian cembung dari $\mathbb {R} ^{n},$ kelas loop homotopi dan karena grup fundamental adalah grup trivial dengan satu elemen. Maka, domain bintang dan ruang kontras memiliki grup fundamental trivial. Dengan demikian, grup fundamental tidak membedakan antara ruang.

Bola-2

Lingkaran Bola-2 (permukaan bola) dari konkret ke suatu titik

Ruang koneksi dengan grup fundamental trivial disebut koneksi sederhana. Misalnya, bola-2 $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ digambarkan di sebelah kanan, dan juga bidang berdimensi tinggi koneksi dengan mudah. Gambar tersebut mengilustrasikan homotopi satu loop tertentu ke loop konstan. Loop $\gamma$ sehingga $(x,y,z)\in S^{2}$ yaitu tidak pada gambar $\gamma .$ Namun, karena loop $\gamma ([0,1])=S^{2}$ (dari kurva Peano, misalnya), bukti lengkap analisis cermat dengan alat dari topologi aljabar dengan Teorema Seifert–van Kampen atau Teorema pendekatan seluler.

Lingkaran

Elemen dari grup homotopi lingkaran

Lingkaran (juga dikenal sebagai bola-1)

$S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$

Sebaliknya, kelas homotopi dari loop lingkaran (positif atau negatif, bergantung pada arah belitan). Hasil kali loop sekitar m dan loop sekitar n adalah loop sekitar $m+n$. Oleh karena itu, grup fundamental dari lingkaran adalah isomorfik grup aditif dari bilangan bulat $(\mathbb {Z} ,+),$. Fakta ini dapat digunakan untuk memberikan pembuktian Teorema titik tetap Brouwer and the Borsuk–Ulam theorem in dimension 2.

Gambar delapan

Grup fundamental dari angka delapan adalah grup bebas pada dua generator a dan b.

Grup fundamental dari gambar delapan adalah grup bebas pada dua huruf. Ide untuk membuktikannya adalah sebagai berikut: memilih titik dasar untuk menjadi titik pertemuan kedua lingkaran (bertitik hitam pada gambar di sebelah kanan), simpul $\gamma$ diuraikan sebagai

$\gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}$

dimana a dan b adalah dua loop di sekitar setengah gambar seperti yang digambarkan, dan eksponen $n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}$ adalah bilangan bulat. Maka $\pi _{1}\left(S^{1}\right),$ grup fundamental dari gambar delapan adalah bukan abelian: dua cara a dan b tidak homotopik:

$[a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].$

Secara lebih umum, grup fundamental dari lingkaran buket dari lingkaran r adalah grup bebas pada huruf r.

Grup fundamental dari jumlah baji dari dua ruang terhubung jalur X dan Y dihitung sebagai produk bebas dari grup fundamental:

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Digeneralisasi dengan pengamatan diatas karena gambar delapan adalah jumlah irisan dua lingkaran.

Grup fundamental dari gambar bidang titik n merupakan grup bebas dengan generator n. Generator ke-i adalah kelas loop gambar ke-i dengan gambar lainnya.

Grafik

Grup fundamental didefinisikan untuk struktur diskrit. Secara khusus, pertimbangkan grafik terhubung G = (V, E), dengan simpul v₀ dengan V. Loop dalam G adalah siklus yang dimulai dan diakhiri v₀. Misalkan T menjadi pohon spaning dari G. Loop sederhana G tepat satu tepi E \ T; loop G adalah rangkaian loop sederhana tersebut. Oleh karena itu, grup fundamental dari grafik adalah grup bebas, dimana jumlah generator persis dengan jumlah tepi E \ T. Bilangan sama dengan |E| − |V| + 1.

Misalnya, G memiliki 16 simpul yang disusun dalam 4 baris terdiri dari 4 simpul, dengan tepi yang menghubungkan simpul berdekatan secara horizontal atau vertikal. Maka G memiliki 24 tepi secara keseluruhan, dan jumlah tepi pohon bentang adalah 16 − 1 = 15, jadi grup fundamental dari G adalah grup bebas dengan 9 generator. Bahwa G memiliki 9 "lubang", dengan buket dari 9 lingkaran, memiliki grup fundamental yang sama.

Grup simpul

Simpul trefoil.

Grup simpul adalah definisi grup fundamental dari komplemen dari simpul K dengan $\mathbb {R} ^{3}.$ Misalnya, grup simpul dari simpul trefoil dikenal sebagai grup braid $B_{3},$ contoh lain dari grup fundamental non-abelian. Presentasi Wirtinger secara eksplisit mendeskripsikan grup simpul dalam istilah generator dan relasi berdasarkan diagram simpul. Oleh karena itu, grup simpul memiliki beberapa kegunaan dalam teori simpul untuk membedakan simpul: jika $\pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K\right)$ bukan isomorfik untuk beberapa grup simpul $\pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K'\right)$ dari simpul lain K', maka K tidak diubah menjadi $K'.$ Jadi simpul trefoil tidak berubah menjadi lingkaran (juga dikenal sebagai simpul trivial), karena simpul terakhir memiliki grup simpul $\mathbb {Z}$. Namun, simpul tidak dideformasi menjadi satu, tetapi memiliki grup simpul isomorfik.

Permukaan berorientasi

Grup fundamental dari permukaan orientasi genus n dapat dihitung dalam istilah generator dan relasi sebagai

$\left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .$

Torus menjadi genus 1 grup dasarnya adalah

$\left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.$

Grup topologi

Grup fundamental dari grup topologi X (dengan titik dasar sebagai elemen netral) selalu komutatif. Secara khusus, kelompok fundamental dari grup Lie adalah komutatif. Maka, struktur grup pada X ke $\pi _{1}(X)$ dengan struktur grup: dua loop $\gamma$ dan $\gamma '$ dengan X, loop $\gamma \star \gamma '$ dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian grup dalam X:

$\left(\gamma \star \gamma '\right)(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).$

Operasi biner $\star$ himpunan loop adalah priori independen dari yang dijelaskan di atas. Namun, argumen Eckmann–Hilton menunjukkan bahwa sebenarnya setuju dengan rangkaian loop atas.

Pemeriksaan bukti menunjukkan $\pi _{1}(X)$ adalah abelian untuk setiap ruang-H X, yaitu perkalian tidak menggunakan invers non-asosiatif. Sebagai contoh, grup fundamental dari sebuah ruang lingkaran dari ruang topologi Y, $X=\Omega (Y),$ adalah abelian. Ide terkait mengarah pada perhitungan Heinz Hopf dari Kohomologi grup Lie.

Funktorialititas

Jika $f\colon X\to Y$ adalah peta kontinu, $x_{0}\in X$ dan $y_{0}\in Y$ dengan $f(x_{0})=y_{0},$ maka loop X dengan titik dasar $x_{0}$ dengan f ke loop Y dengan titik dasar $y_{0}.$ Operasi kompatibel dengan relasi ekuivalen homotopi dan dengan komposisi loop. Homomorfisme kelompok yang dihasilkan, disebut homomorfisme terinduksi, sebagai $\pi (f)$ maka:

$f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Pemetaan dari peta kontinu hingga homomorfisme grup kompatibel dengan komposisi peta dan morfisme identitas. Dalam kategori teori, pembentukan asosiasi ke ruang topologi grup fundamental adalah funktor

${\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}$

dari kategori ruang topologi dengan titik dasar ke kategori grup. Funktor peta homotopik relatif terhadap titik dasar: jika f, g : X → Y adalah peta kontinu dengan f(x₀) = g(x₀) = y₀, and f dan g adalah homotopik {x₀}, maka f_∗ = g_∗. Maka, dua ruang jalur ekuivalen homotopi memiliki gugus fundamental isomorfik:

$X\simeq Y\Rightarrow \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Misalnya, penyertaan lingkaran di bidang citra

$S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$

adalah ekuivalen homotopi dan isomorfisme grup fundamentalnya.

Funktor grup fundamental dari produk ke produk dan koproduk ke koproduk. Artinya, jika X dan Y adalah jalur terhubung, maka

$\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Lihat pula

• Grup fundamental Orbifold

Referensi

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces, Annals of Mathematics Studies, 90, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08207-3, MR 0505692 
• Brown, Ronald (2006), Topology and Groupoids, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8 
• Bump, Daniel (2013), Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 225 (edisi ke-2nd), Springer, doi:10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN 978-1-4614-8023-5 
• Crowell, Richard H.; Fox, Ralph (1963), Introduction to Knot Theory, Springer 
• El Zein, Fouad; Suciu, Alexander I.; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey (2010), Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007, ISBN 978-3-0346-0208-2 
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann Surfaces, ISBN 0-387-90617-7 
• Fulton, William (1995), Algebraic Topology: A First Course, Springer, ISBN 9780387943275 
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, hlm. xviii+327, see Exp. V, IX, X., arXiv:math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2 
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 
• Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• Humphreys, James E. (2004), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics (21), Springer, ISBN 9780387901084 
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, ISBN 0-387-90052-7 
• Maunder, C. R. F. (January 1996), Algebraic Topology, Dover Publications, ISBN 0-486-69131-4 
• Massey, William S. (1991), A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, ISBN 038797430X 
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, ISBN 9780226511832 
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• Munkres, James R. (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2 
• Rotman, Joseph (1998-07-22), An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1 
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3 
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A Textbook of Topology, diterjemahkan oleh Heil, Wolfgang, Academic Press, ISBN 0-12-634850-2 
• Singer, Isadore. M.; Thorpe, J. A. (1976-12-10), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, ISBN 0-387-90202-3 
• Spanier, Edwin H. (1989), Algebraic Topology, Springer, ISBN 0-387-94426-5 
• Strom, Jeffrey (2011), Modern Classical Homotopy Theory, AMS, ISBN 9780821852866 

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Fundamental group". MathWorld. 

• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce fundamental group by Nicolas Delanoue
• Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion
• Groupoids in Mathematics