Lompat ke isi

Konstanta Apéry: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
Rumus yang lebih rumit: Memperbaiki terjemahan yang belum diterjemahkan dan salah diterjemahkan.
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8
Baris 172: Baris 172:
| Mei 26, 2019 ||align="right"| {{val|1000000000000}} || Ian Cutress<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=June 8, 2019}}</ref>
| Mei 26, 2019 ||align="right"| {{val|1000000000000}} || Ian Cutress<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=June 8, 2019}}</ref>
|-
|-
| Juli 26, 2020 ||align="right"| {{val|1200000000100}} || Seungmin Kim<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=Records set by y-cruncher|archive-url=https://web.archive.org/web/20200810062250/http://www.numberworld.org/y-cruncher/|access-date=August 10, 2020|archive-date=2020-08-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|title=Apéry's constant world record by Seungmin Kim|access-date=July 28, 2020}}</ref>
| Juli 26, 2020 ||align="right"| {{val|1200000000100}} || Seungmin Kim<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=Records set by y-cruncher|archive-url=https://web.archive.org/web/20200810062250/http://www.numberworld.org/y-cruncher/|access-date=August 10, 2020|archive-date=2020-08-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|title=Apéry's constant world record by Seungmin Kim|access-date=July 28, 2020|archive-date=2020-08-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200803203946/https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|dead-url=yes}}</ref>
|}
|}



Revisi per 27 Mei 2021 16.44

Biner 1.0011001110111010
Desimal 1.2020569031595942854…
Heksadesimal 1.33BA004F00621383
Pecahan lanjutan
Perhatikan bahwa pecahan lanjutan ini tidak terbatas, tetapi tidak diketahui apakah pecahan lanjutan ini berkala atau bukan.

Dalam matematika, di persimpangan teori bilangan dan fungsi khusus, Konstanta Apéry adalah jumlah dari kebalikan dari kubus positif. Artinya, ini didefinisikan sebagai angka

dimana ζ adalah fungsi Riemann zeta. Ini memiliki nilai perkiraan[1]

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292 (barisan A002117 pada OEIS).

konstanta dinamai Roger Apéry. Ini muncul secara alami dalam sejumlah masalah fisik, termasuk dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron menggunakan elektrodinamika kuantum. Ini juga muncul dalam analisis pohon rentang minimum acak[2] dan dalam hubungannya dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi yang kadang-kadang muncul dalam fisika, misalnya ketika mengevaluasi kasus dua dimensi model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

Bilangan irasional

ζ(3) dinamai Konstanta Apéry setelah ahli matematika Prancis Roger Apéry, yang membuktikan pada tahun 1978 bahwa itu adalah bilangan irasional.[3] Hasil ini dikenal sebagai Teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,[4] dan bukti yang lebih sederhana ditemukan kemudian.[5][6]

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integral dari integral rangkap tiga yang diketahui ,

oleh polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten mencatat pendekatan ini dengan mencatat hal itu

dimana , adalah polinomial Legendre, dan urutan adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat.

Masih belum diketahui apakah konstanta Apéry adalah transendental.

Wakilan deret

Klasik

Selain deret dasar:

Leonhard Euler memberikan wakilan deret:[7]

pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali beberapa kali.[8]

Wakilan deret klasik lainnya termasuk:

Kekonvergenan cepat

Sejak abad ke-19, sejumlah ahli matematika telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung tempat desimal ζ(3). Sejak tahun 1990-an, pencarian ini telah difokuskan pada rangkaian yang efisien secara komputasi dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Wakilan deret berikut ditemukan oleh A.A. Markov pada tahun 1890[9], ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,[10] dan ditemukan kembali sekali lagi dan diiklankan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:[3]

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996,[11] memberikan (secara asimtotik) 1,43 tempat desimal koreksi baru per suku:

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997,[12] memberikan (secara asimtotik) 3,01 tempat desimal koreksi baru per suku:

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998,[13] memberikan (tanpa gejala) 5,04 tempat desimal koreksi baru per suku:

Ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapa juta tempat desimal yang benar.[14]

Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005,[15] memberikan (secara asimtotik) 3.92 tempat desimal koreksi baru per suku:

Digit demi digit

Pada tahun 1998, Broadhurst[16] memberikan wakilan deret yang memungkinkan digit biner sembarang untuk dihitung, dan dengan demikian, untuk tetapan yang akan diperoleh di waktu linier dekat, dan ruang logaritma.

Lainnya

Wakilan deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:[17]

Wakilan deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:[18]

Srivastava[19] mengumpulkan banyak deret yang menyatu dengan tetapan Apéry.

Wakilan integral

Ada banyak wakilan integral untuk tetapan Apéry. Beberapa di antaranya sederhana, yang lainnya lebih rumit.

Rumus sederhana

Sebagai contoh, berikut ini dari wakilan penjumlahan untuk konstanta Apéry:

.

Dua berikutnya mengikuti langsung dari rumus integral terkenal untuk fungsi Riemann zeta:

dan

.

Yang ini mengikuti dari pengembangan Taylor χ3(eix) tentang x = ±π2, dimana χν(z) adalah fungsi chi Legendre:

Perhatikan kesamaannya dengan

dimana G adalah tetapan Catalan.

Rumus yang lebih rumit

Contohnya, salah satu rumus ditemukan oleh Johan Jensen:[20]

,

lainnya oleh F. Beukers:[5]

,

Dengan mencampurkan kedua rumus ini, seseorang dapat memperoleh:

,

Oleh simetri,

,

Menjumlahkan keduanya,

.

Satu lagi oleh Iaroslav Blagouchine:[21]

.

Hubungan Evgrafovto dengan yang lain untuk turunan dari fungsi gamma

juga sangat berguna untuk penurunan berbagai representasi integral melalui rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.[22]

Digit yang diketahui

Jumlah digit konstanta Apéry yang diketahui ζ(3) has meningkat secara dramatis selama beberapa dekade terakhir. Ini disebabkan oleh peningkatan kinerja komputer dan peningkatan algoritme.

Jumlah digit desimal konstanta Apéry yang diketahui ζ(3)
Tanggal Angka desimal Perhitungan dilakukan oleh
1735 16 Leonhard Euler
tak diketahui 16 Adrien-Marie Legendre
1887 32 Thomas Joannes Stieltjes
1996 520.000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 1.000.000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
Mei 1997 10.536.006 Patrick Demichel
Februari 1998 14.000.074 Sebastian Wedeniwski
Maret 1998 32.000.213 Sebastian Wedeniwski
Juli 1998 64.000.091 Sebastian Wedeniwski
Desember 1998 128.000.026 Sebastian Wedeniwski[1]
September 2001 200.001.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2002 600.001.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2003 1.000.000.000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon[23]
April 2006 10.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Januari 21, 2009 15.510.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[24]
Februari 15, 2009 31.026.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[24]
September 17, 2010 100.000.001.000 Alexander J. Yee[25]
September 23, 2013 200.000.001.000 Robert J. Setti[25]
Agustus 7, 2015 250.000.000.000 Ron Watkins[25]
Desember 21, 2015 400.000.000.000 Dipanjan Nag[26]
Agustus 13, 2017 500.000.000.000 Ron Watkins[25]
Mei 26, 2019 1.000.000.000.000 Ian Cutress[27]
Juli 26, 2020 1.200.000.000.100 Seungmin Kim[28][29]

Lihat pula

Catatan

  1. ^ a b Lihat Wedeniwski 2001.
  2. ^ Lihat Frieze 1985.
  3. ^ a b Lihat Apéry 1979.
  4. ^ Lihat van der Poorten 1979.
  5. ^ a b See Beukers 1979.
  6. ^ Lihat Zudilin 2002.
  7. ^ Lihat Euler 1773.
  8. ^ Lihat Srivastava 2000, p. 571 (1.11).
  9. ^ Lihat Markov 1890.
  10. ^ Lihat Hjortnaes 1953.
  11. ^ Lihat Amdeberhan 1996.
  12. ^ Lihat Amdeberhan & Zeilberger 1997.
  13. ^ Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan rumus ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. Penemuannay tahun (1998) disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).
  14. ^ Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001.
  15. ^ Lihat Mohammed 2005.
  16. ^ Lihat Broadhurst 1998.
  17. ^ Lihat Berndt 1989, bab 14, rumus 25.1 dan 25.3.
  18. ^ Lihat Plouffe 1998.
  19. ^ Lihat Srivastava 2000.
  20. ^ Lihat Jensen 1895.
  21. ^ Lihat Blagouchine 2014.
  22. ^ Lihat Evgrafov et al. 1969, latihan 30.10.1.
  23. ^ Lihat Gourdon & Sebah 2003.
  24. ^ a b Lihat Yee 2009.
  25. ^ a b c d Lihat Yee 2017.
  26. ^ Lihat Nag 2015.
  27. ^ "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019. 
  28. ^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal August 10, 2020. 
  29. ^ "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-03. Diakses tanggal July 28, 2020. 

Referensi

Kredit

Templat:PlanetMath attribution