Alir Ricci

Dalam geometri diferensial, alir Ricci adalah alir geometri instrinsik - suatu proses yang mendeformasi metrik manifold Riemannian - dalam hal ini dalam cara formal analog dengan difusi kalor, dengan demikian melicinkan ketakteraturan dalam metrik. Alir Ricci memegang peranan penting dalam pembuktian dugaan Poincaré, salah satu dari tujuh Problem Hadiah Millennium yang mana Institut Matematika Clay menawarkan hadiah $1,000,000 untuk solusi yang benar; lihat Solusi Dugaan Poincaré, dan dalam konteks ini juga disebut alir Ricci-Hamilton.

Definisi Matematika

Diberikan manifold Riemannian dengan tensor metrik $g_{ij}$, kita dapat menghitung tensor Ricci $R_{ij}$, yang menghimpun rerata kelengkungan bagian ke dalam "trace" dari tensor kelengkungan Riemann. Jika kita meninjau tensor metrik (dan tensor Ricci terkait) menjadi fungsi peubah yang biasanya disebut "waktu", maka alir Ricci dapat didefinisikan dengan persamaan evolusi geometri

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}.$

Alir Ricci ternormalisasi memiliki makna untuk manifold kompak dan diberikan oleh persamaan

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}$

dimana $R_{\mathrm {avg} }$ adalah kelengkungan skalar rata-rata (yang diperoleh dari tensor Ricci dengan mengambil trace) dan $n$ adalah dimensi manifold. Persamaan ternormalisasi ini mengekalkan volume metrik.

Faktor −2 tak begitu signifikan, karena ia dapat diubah menjadi sembarang bilangan riil tak nol dengan cara menskala t. Namun, tanda minus menjamin bahwa alir Ricci terdefinisi baik untuk waktu positip yang cukup kecil; jika tanda berubah maka alir Ricci akan terdefinisi untuk waktu negatip kecil. (Hal ini serupa dengan cara dimana persamaan panas dapat mengalir maju dalam waktu, namun tidak mengalir mundur dalam waktu.)

Secara informal, alir Ricci cenderung mengekspansi daerah melengkung negatip dari manifold, dan mengontraksi daerah melengkung positip.