Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 17: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 10 Februari 2022 06.15

Rumus kuadrat atau dikenal sebagai rumus ABC.

Dalam aljabar elementer, rumus kuadrat adalah sebuah rumus yang mencari sebuah variabel yang tidak diketahui pada persamaan kuadrat.^[1] Terkadang, rumus ini disebut juga sebagai rumus ABC karena terkandung tiga variabel pada persamaan tersebut, yakni $a$ , $b$ , dan $c$ ,^[2] atau rumus kecap, yang merujuk ke salah satu kecap terkenal di Indonesia, yaitu kecap ABC.^[3]

Ringkasan

Bentuk umum persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai

ax^{2}+bx+c=0

,

dimana $x$ adalah variabel yang tidak diketahui, dan $a,b,c$ adalah koefisien real (dengan $a\neq 0$ ), memberikan solusi $x$ :

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

.

Karena adanya tanda plus dan minus, rumus tersebut mempunyai dua solusi, yaitu:

x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

dan

x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

.

Penurunan

Berbagai bukti dan penurunan terhadap rumus kuadrat dapat dilakukan dengan berbagai cara, seperti menyelesaikan dalam bentuk kuadrat sempurna, substitusi,^[4] identitas aljabar, dan Lagrange resolvent.

Bentuk kuadrat sempurna

Metode singkat

Adapun metode singkat bentuk kuadrat sempurna:

Kalikan kedua ruas dengan $4a$ ,
Kedua ruas dikurangi $4ac$ .
Tambahkan $b^{2}$ pada kedua ruas untuk memperoleh bentuk kuadrat sempurna.
Kedua ruas diakarkuadratkan.
Selesaikan untuk nilai $x$ .

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}

Diberikan persamaan $ax^{2}+bx+c=0$ , dengan membagi kedua ruas dengan $a$ akan memperoleh $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ . Selanjutnya kurangi kedua ruas dengan ${\textstyle -{\frac {c}{a}}}$ .

x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}

.

Pada ruas kiri, kita dapat mengubahnya menjadi bentuk kuadrat dengan menambahkan ${\textstyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}$ pada kedua ruas.

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}

.

Pada ruas kanan, penyebutnya disamakan. Kedua ruas diakarkuadratkan dan dikurangi dengan ${\textstyle -{\frac {b}{a}}}$ sehingga kita memperoleh rumus kuadrat.

Melalui teknik yang serupa, terdapat metode sederhana dalam menurunkan rumus ini,^[5] yang ditemukan di India sekitar tahun 1025.^[6] Metode ini tidak memerlukan bentuk pecahan (termasuk yang diakarkuadratkan) hingga setelah langkah ketiga.

Substitusi

Dalam teknik ini, misalkan $x=y+m$ . Substitusi nilai $x$ sehingga diperoleh:

a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0

.

Dengan memperluas bentuk tersebut dan mengumpulkan perpangkatan dari $y$ memberikan:

ay^{2}+y(2am+b)+\left(am^{2}+bm+c\right)=0\ \ .

We have not yet imposed a second condition on $y$ and $m$ , so we now choose $m$ so that the middle term vanishes. That is, $2am+b=0$ or $\textstyle m={\frac {-b}{2a}}$ .

ay^{2}+y(\ \ \ 0\ \ )+\left(am^{2}+bm+c\right)=0\ \ .

ay^{2}+\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(am^{2}+bm+c\right)=0\ \ .

Subtracting the constant term from both sides of the equation (to move it to the right hand side) and then dividing by $a$ gives:

y^{2}={\frac {-\left(am^{2}+bm+c\right)}{a}}\ \ .

Substituting for $m$ gives:

y^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .

Therefore,

y=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}

By re-expressing $y$ in terms of $x$ using the formula $\textstyle x=y+m=y-{\frac {b}{2a}}$ , the usual quadratic formula can then be obtained:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .

Identitas aljabar

Lagrange resolvent

Rujukan

^ M.Pd, Sri Jumini, S. Pd (2017-11-20). Buku Ajar Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Penerbit Mangku Bumi. hlm. 36. ISBN 978-602-52256-2-8.
^ "Rumus ABC - Pengertian, Soal, Pembahasan | dosenpintar.com". dosenpintar.com. Diakses tanggal 2022-02-07.
^ Mauhibah, Al Jupri, Rohma (2014-01-01). Trik Cerdas Paling Cadas Pintar Matematika SMA. PandaMedia. hlm. 64. ISBN 978-979-780-658-3.
^ Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1
^ Hoehn, Larry (1975). "A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula". The Mathematics Teacher. 68 (5): 442–443. doi:10.5951/MT.68.5.0442.
^ Smith, David E. (1958). History of Mathematics, Vol. II. Dover Publications. hlm. 446. ISBN 0486204308.

Daftar pustaka

CCSS HSA-REI.B.4 Completing the Square to Solve Quadratic Equations: Aligns to CCSS HSA-REI.B.4: Solve quadratic equations in one variable. (dalam bahasa Inggris). Lorenz Educational Press. 2014-01-01. hlm. 51. ISBN 978-0-7877-1056-9.
Hanna, Gila; Jahnke, Hans Niels; Pulte, Helmut (2009-12-04). Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 91. ISBN 978-1-4419-0576-5.

Varberg, Dale. Kalkulus, Edisi Kesembilan, Jilid 1. Penerbit Erlangga. hlm. 14. ISBN 0-13-1429-24-8.

[1] M.Pd, Sri Jumini, S. Pd (2017-11-20). Buku Ajar Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Penerbit Mangku Bumi. hlm. 36. ISBN 978-602-52256-2-8.

[2] "Rumus ABC - Pengertian, Soal, Pembahasan | dosenpintar.com". dosenpintar.com. Diakses tanggal 2022-02-07.

[3] Mauhibah, Al Jupri, Rohma (2014-01-01). Trik Cerdas Paling Cadas Pintar Matematika SMA. PandaMedia. hlm. 64. ISBN 978-979-780-658-3.

[4] Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1

[Hoehn1975-5] Hoehn, Larry (1975). "A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula". The Mathematics Teacher. 68 (5): 442–443. doi:10.5951/MT.68.5.0442.

[Smith1958-6] Smith, David E. (1958). History of Mathematics, Vol. II. Dover Publications. hlm. 446. ISBN 0486204308.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 18: / Baris 18: @@
 === Penurunan ===
-Berbagai bukti dan penurunan terhadap rumus kuadrat dapat dilakukan dengan berbagai cara, seperti menyelesaikan dalam bentuk kuadrat sempurna, substitusi, identitas aljabar, dan ''Lagrange resolvent''.
+Berbagai bukti dan penurunan terhadap rumus kuadrat dapat dilakukan dengan berbagai cara, seperti menyelesaikan dalam bentuk kuadrat sempurna, substitusi,<ref>Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1</ref> identitas aljabar, dan ''Lagrange resolvent''.
 [[Berkas:QuadraticDerivation.gif|jmpl|Animasi penurunan rumus kuadrat.]]
@@ Baris 52: / Baris 52: @@
 Melalui teknik yang serupa, terdapat metode sederhana dalam menurunkan rumus ini,<ref name="Hoehn1975">{{cite journal|last=Hoehn|first=Larry|year=1975|title=A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula|journal=The Mathematics Teacher|volume=68|issue=5|page=442&ndash;443|doi=10.5951/MT.68.5.0442}}</ref> yang ditemukan di India sekitar tahun 1025.<ref name="Smith1958">{{cite book|last=Smith|first=David E.|year=1958|title=History of Mathematics, Vol. II|publisher=Dover Publications|isbn=0486204308|page=446}}</ref> Metode ini tidak memerlukan bentuk pecahan (termasuk yang diakarkuadratkan) hingga setelah langkah ketiga.
 ==== Substitusi ====
+Dalam teknik ini, misalkan ''<math>x = y+m</math>''. Substitusi nilai <math>x</math> sehingga diperoleh:
+: <math>a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0</math>.
+Dengan memperluas bentuk tersebut dan mengumpulkan perpangkatan dari ''<math>y</math>'' memberikan:
+: <math>ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>
+We have not yet imposed a second condition on ''<math>y</math>'' and ''<math>m</math>'', so we now choose ''<math>m</math>'' so that the middle term vanishes. That is, ''<math>2am + b = 0</math>'' or ''<math>\textstyle m = \frac{-b}{2a}</math>''.
+: <math>ay^2 + y(\ \ \ 0 \ \ ) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>
+: <math>ay^2 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>
+Subtracting the constant term from both sides of the equation (to move it to the right hand side) and then dividing by ''<math>a</math>'' gives:
+: <math>y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}\ \ .</math>
+Substituting for ''<math>m</math>'' gives:
+: <math>y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .</math>
+Therefore,
+: <math>y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
+By re-expressing ''<math>y</math>'' in terms of ''<math>x</math>'' using the formula ''<math>\textstyle x = y + m = y - \frac{b}{2a}</math>'' , the usual quadratic formula can then be obtained:
+: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>
 ==== Identitas aljabar ====