Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 17: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) ←Mengosongkan halaman Tag: Mengosongkan Suntingan visualeditor-wikitext |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
[[Berkas:Quadratic Formula.jpg|jmpl|Rumus kuadrat atau dikenal sebagai rumus ABC.]] |
|||
Dalam [[aljabar elementer]], '''rumus kuadrat''' adalah sebuah rumus yang mencari sebuah [[Variabel (matematika)|variabel]] yang tidak diketahui pada [[persamaan kuadrat]].<ref>{{Cite book|last=M.Pd|first=Sri Jumini, S. Pd|date=2017-11-20|url=https://books.google.co.id/books?id=JNeFDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=buku+kuliah+rumus+abc&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Buku Ajar Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi|publisher=Penerbit Mangku Bumi|isbn=978-602-52256-2-8|pages=36|language=id|url-status=live}}</ref> Terkadang, rumus ini disebut juga sebagai '''rumus ABC''' karena terkandung tiga variabel pada persamaan tersebut, yakni <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math>,<ref>{{Cite web|title=Rumus ABC - Pengertian, Soal, Pembahasan {{!}} dosenpintar.com|url=https://dosenpintar.com/rumus-abc/|website=dosenpintar.com|access-date=2022-02-07}}</ref> atau '''rumus kecap''', yang merujuk ke salah satu kecap terkenal di Indonesia, yaitu [[kecap ABC]].<ref>{{Cite book|last=Mauhibah|first=Al Jupri, Rohma|date=2014-01-01|url=https://books.google.co.id/books?id=XESVAwAAQBAJ&pg=PA64&dq=rumus+kecap&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjpotW8mvD1AhUKxTgGHcqrCysQ6AF6BAgEEAI#v=onepage&q=rumus%20kecap&f=false|title=Trik Cerdas Paling Cadas Pintar Matematika SMA|publisher=PandaMedia|isbn=978-979-780-658-3|pages=64|language=id|url-status=live}}</ref> |
|||
== Ringkasan == |
|||
[[Berkas:Quadratic roots.svg|jmpl|Melalui rumus tersebut, persamaan fungsi kuadrat <math display="inline">y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2</math> memiliki [[Akar fungsi|akar persamaan]], yaitu <math>x = 1</math> dan <math>x = 4</math>.]] |
|||
Bentuk umum persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai |
|||
: <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, |
|||
dimana <math>x</math> adalah variabel yang tidak diketahui, dan <math>a,b,c</math> adalah koefisien [[Bilangan real|real]] (dengan <math>a \ne 0 </math>), memberikan solusi <math>x</math>: |
|||
: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>. |
|||
Karena adanya [[tanda plus dan minus]], rumus tersebut mempunyai dua solusi, yaitu: |
|||
: <math>x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math> dan <math>x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>. |
|||
=== Penurunan === |
|||
Berbagai bukti dan penurunan terhadap rumus kuadrat dapat dilakukan dengan berbagai cara, seperti menyelesaikan dalam bentuk kuadrat sempurna, substitusi,<ref>Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1</ref> identitas aljabar, dan ''Lagrange resolvent''. |
|||
[[Berkas:QuadraticDerivation.gif|jmpl|Animasi penurunan rumus kuadrat.]] |
|||
==== Bentuk kuadrat sempurna ==== |
|||
{{Sidebox|above='''Metode singkat''' |
|||
|below=Adapun metode singkat bentuk kuadrat sempurna: |
|||
# Kalikan kedua ruas dengan ''<math>4a</math>'', |
|||
# Kedua ruas dikurangi <math> 4ac </math>. |
|||
# Tambahkan ''<math>b^2</math>'' pada kedua ruas untuk memperoleh bentuk kuadrat sempurna. |
|||
# Kedua ruas diakarkuadratkan. |
|||
# Selesaikan untuk nilai ''<math>x</math>''. |
|||
: <math>\begin{align} |
|||
ax^2+bx+c &= 0 \\ |
|||
4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac &= 0 \\ |
|||
4 a^2 x^2 + 4abx &= -4ac \\ |
|||
4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 &= b^2 - 4ac \\ |
|||
(2ax + b)^2 &= b^2 - 4ac \\ |
|||
2ax + b &= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ |
|||
2ax &= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ |
|||
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ . |
|||
\end{align}</math>}} |
|||
Diberikan persamaan <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, dengan membagi kedua ruas dengan <math>a</math> akan memperoleh <math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0</math>. Selanjutnya kurangi kedua ruas dengan <math display="inline">-\frac{c}{a}</math>. |
|||
: <math>x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}</math>. |
|||
Pada ruas kiri, kita dapat mengubahnya menjadi bentuk kuadrat dengan menambahkan <math display="inline">\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math> pada kedua ruas. |
|||
: <math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} </math>. |
|||
Pada ruas kanan, penyebutnya disamakan. Kedua ruas diakarkuadratkan dan dikurangi dengan <math display="inline">-\frac{b}{a}</math> sehingga kita memperoleh rumus kuadrat. |
|||
Melalui teknik yang serupa, terdapat metode sederhana dalam menurunkan rumus ini,<ref name="Hoehn1975">{{cite journal|last=Hoehn|first=Larry|year=1975|title=A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula|journal=The Mathematics Teacher|volume=68|issue=5|page=442–443|doi=10.5951/MT.68.5.0442}}</ref> yang ditemukan di India sekitar tahun 1025.<ref name="Smith1958">{{cite book|last=Smith|first=David E.|year=1958|title=History of Mathematics, Vol. II|publisher=Dover Publications|isbn=0486204308|page=446}}</ref> Metode ini tidak memerlukan bentuk pecahan (termasuk yang diakarkuadratkan) hingga setelah langkah ketiga. |
|||
==== Substitusi ==== |
|||
Dalam teknik ini, misalkan ''<math>x = y+m</math>''. Substitusi nilai <math>x</math> sehingga diperoleh: |
|||
: <math>a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0</math>. |
|||
Dengan memperluas bentuk tersebut dan mengumpulkan perpangkatan dari ''<math>y</math>'' memberikan: |
|||
: <math>ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math> |
|||
We have not yet imposed a second condition on ''<math>y</math>'' and ''<math>m</math>'', so we now choose ''<math>m</math>'' so that the middle term vanishes. That is, ''<math>2am + b = 0</math>'' or ''<math>\textstyle m = \frac{-b}{2a}</math>''. |
|||
: <math>ay^2 + y(\ \ \ 0 \ \ ) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math> |
|||
: <math>ay^2 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math> |
|||
Subtracting the constant term from both sides of the equation (to move it to the right hand side) and then dividing by ''<math>a</math>'' gives: |
|||
: <math>y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}\ \ .</math> |
|||
Substituting for ''<math>m</math>'' gives: |
|||
: <math>y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .</math> |
|||
Therefore, |
|||
: <math>y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> |
|||
By re-expressing ''<math>y</math>'' in terms of ''<math>x</math>'' using the formula ''<math>\textstyle x = y + m = y - \frac{b}{2a}</math>'' , the usual quadratic formula can then be obtained: |
|||
: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math> |
|||
==== Identitas aljabar ==== |
|||
==== ''Lagrange resolvent'' ==== |
|||
== Rujukan == |
|||
{{div col|colwidth=30em}}<references />{{div col end}} |
|||
=== Daftar pustaka === |
|||
* ''[https://books.google.co.id/books?id=zELTAgAAQBAJ&pg=PA11&dq=quadratic+formula&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjD4Ynrue_1AhU53jgGHQuLCQAQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false CCSS HSA-REI.B.4 Completing the Square to Solve Quadratic Equations: Aligns to CCSS HSA-REI.B.4: Solve quadratic equations in one variable.]'' (dalam bahasa Inggris). Lorenz Educational Press. 2014-01-01. hlm. 51. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Istimewa:Sumber buku/978-0-7877-1056-9|978-0-7877-1056-9]]. |
|||
* Hanna, Gila; Jahnke, Hans Niels; Pulte, Helmut (2009-12-04). ''[https://books.google.co.id/books?id=3bLHye8kSAwC&pg=PA90&dq=various+way+to+proof+the+quadratic+formula&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjXxrPgu-_1AhWOIbcAHaQeDvQQ6AF6BAgEEAI#v=onepage&q=various%20way%20to%20proof%20the%20quadratic%20formula&f=false Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives]'' (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 91. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Istimewa:Sumber buku/978-1-4419-0576-5|978-1-4419-0576-5]]. |
|||
* {{Citebook|last=Varberg|first=Dale|title=Kalkulus, Edisi Kesembilan, Jilid 1|publisher=Penerbit Erlangga|isbn=0-13-1429-24-8|pages=14|url-status=live}} |
|||