Analisis riil: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) alih halaman Tag: Pengalihan baru Suntingan visualeditor-wikitext |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
| ⚫ | |||
'''Analisis real''' atau '''analisis riil''' ({{Lang-en|real analysis}}), atau biasanya disebut '''teori fungsi variabel riil/real''' atau '''teori fungsi peubah riil/real''' merupakan cabang dari [[analisis matematika]] yang membahas himpunan [[bilangan riil]], fungsi riil, serta barisan dan deret bilangan riil.<ref>{{Cite web|last=Tao|first=Terence|date=2003|title=Lecture notes for MATH 131AH|url=https://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/131ah.1.03w/week1.pdf|website=Course Website for MATH 131AH, Department of Mathematics, UCLA}}</ref> Singkatnya, analisis riil adalah cabang analisis matematis yang berkaitan dengan bilangan riil dan fungsi bernilai riil dari variabel riil.<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|date=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher=McGraw–Hill|isbn=978-0-07-054235-8|edition=3rd|series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref><ref>{{cite book|last=Abbott|first=Stephen|date=2001|title=Understanding Analysis|location=New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-95060-0|series=Undergraduate Texts in Mathematics}}</ref> Analisis riil dapat dianggap sebagai [[kalkulus]] yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara lebih mendalam mengenai konsep [[barisan]] dan [[limit]], [[Fungsi kontinu|kekontinuan]], [[turunan]], [[integral]], dan barisan dari fungsi tersebut. |
|||
Penjelasan analisis riil pada buku-buku pelajaran tingkat lanjut biasanya dimulai dengan pembuktian sederhana mengenai [[teori dasar himpunan]], pendefinisian konsep-konsep fungsi yang jelas, dan pengenalan kepada [[bilangan asli]] dan pentingnya teknik pembuktian menggunakan [[induksi matematika]]. Lalu dilanjutkan dengan pengenalan bilangan riil baik secara aksioma, ataupun melalui pembentukan dengan [[barisan Cauchy]], ataupun [[potongan Dedekind]] pada [[bilangan rasional]]. Hasil yang mendasar kemudian dapat diperoleh, yang terpenting adalah sifat-sifat dari nilai mutlak seperti pertidaksamaan segitiga dan [[pertidaksamaan Bernoulli]].. |
|||
== Konsep analisis riil == |
|||
=== Bilangan real === |
|||
{{Lihat pula|Bilangan real}} |
|||
[[Berkas:Latex_real_numbers.svg|jmpl|100x100px|Himpunan bilangan real]] |
|||
Bilangan real atau bilangan riil (dinotasikan <math>\R</math> sebagai himpunan bilangan real) merupakan bilangan yang mencakup [[bilangan irasional]] dan [[bilangan rasional]]. Bilangan real dapat kita pandangi sebagai label dalam titik-titik di sepanjang garis horizontal sehingga angka-angkanya dapat mengukur jarak ke kiri dan ke kanan.<ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1''. hlm. 1. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref> Himpunan bilangan real dapat dituliskan sebagai |
|||
: <math>\N \subset \Z \subset \Q \subset \R</math>. |
|||
<gallery widths="280" heights="240"> |
|||
Berkas:Number-systems.svg|Himpunan [[bilangan real]] (<math>\R</math>) terdiri dari [[bilangan asli]] (<math>\N</math>), bilangan bulat (<math>\Z</math>), dan [[bilangan rasional]] (<math>\Q</math>). |
|||
Berkas:Real number line.svg|Ilustrasi bilangan real dengan titik-titik yang dilabeli angka-angka pada garis horizontal.<ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan''. hlm. 2. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref> |
|||
</gallery> |
|||
=== Limit === |
|||
{{Lihat pula|Limit}} |
|||
[[Berkas:Límite_01.svg|jmpl|Ilustrasi mengenai [[Definisi limit (ε, δ)|definisi limit (ε,δ)]].]] |
|||
Limit merupakan konsep yang menjelaskan ketika suatu masukan atau indeks mendekati suatu nilai.<ref>{{cite book|last=Stewart|first=James|year=2008|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1|title=Calculus: Early Transcendentals|publisher=[[Brooks/Cole]]|isbn=978-0-495-01166-8|edition=6th|author-link=James Stewart (mathematician)}}</ref> Definisi maupun [[Limit fungsi#Rumus biasa|sifat-sifatnya]] dapat dibuktikan dengan menggunakan [[Definisi limit (ε, δ)|definisi limit (ε,δ)]]. |
|||
=== Barisan dan deret === |
|||
{{Lihat pula|Barisan}} |
|||
Konsep [[Kekonvergenan (matematika)|kekonvergenan]], sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui [[limit]] dan [[barisan]]. Beberapa kaidah yang mengatur proses pelimitan dapat diturunkan, dan beberapa limit dapat dihitung, serta [[deret takhingga]], yang merupakan barisan yang khusus juga dipelajari. Deret pangkat digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi [[trigonometri]]. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan riil, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian. |
|||
=== Kekontinuan === |
|||
{{Lihat pula|Fungsi kontinu}} |
|||
Konsep mengenai kekontinuan dapat dijelaskan menggunakan limit. Penambahan, perkalian, komposisi, hasil kali dan haslil bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah [[Fungsi kontinu|fungsi yang kontinu]] juga, dan teorema nilai tengah yang penting juga terbukti. |
|||
Pada pencapaian ini, adalah sangat berguna untuk mempelajari ide dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, agar kemudian dapat memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Ini dapat dilakukan dalam topologi himpunan titik dan menggunakan ruang metrik. Konsep-konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan, kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa. |
|||
=== Turunan === |
|||
{{Lihat pula|Turunan}} |
|||
[[Berkas:Tangent_function_animation.gif|jmpl|Ilustrasi mengenai penerapan turunan.]] |
|||
Turunan adalah konsep yang menjelaskan bagaimana perilaku fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Ide mengenai turunan mungkin dapat diperkenalkan sebagai suatu proses pelimitan tertentu, dan hukum-hukum turunan yang umum dari kalkulus dapat dijelaskan dengan lebih terperinci. |
|||
=== Integral Riemann === |
|||
{{Lihat pula|Integral Riemann}} |
|||
Integral Riemann, dinamai dari [[Bernhard Riemann]], merupakan integral yang didefinisikan dalam bentuk jumlah fungsi Riemann terhadap label dari suatu interval. |
|||
== Lihat pula == |
|||
| ⚫ | |||
* [[Daftar topik analisis real|Daftar topik analisis riil]] |
|||
== Referensi == |
|||
<references /> |
|||
{{Analysis-footer}} |
|||
[[Kategori:Analisis matematika]] |
|||
Revisi per 14 Maret 2022 14.32
Mengalihkan ke: