Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 17: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 14 Juli 2022 05.24

In fractal geometry, the Minkowski–Bouligand dimension, also known as Minkowski dimension or box-counting dimension, is a way of determining the fractal dimension of a set S in a Euclidean space Rⁿ, or more generally in a metric space (X, d). It is named after the Polish mathematician Hermann Minkowski and the French mathematician Georges Bouligand.

To calculate this dimension for a fractal S, imagine this fractal lying on an evenly spaced grid and count how many boxes are required to cover the set. The box-counting dimension is calculated by seeing how this number changes as we make the grid finer by applying a box-counting algorithm.

Suppose that N(ε) is the number of boxes of side length ε required to cover the set. Then the box-counting dimension is defined as

\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.

Roughly speaking, this means that the dimension is the exponent d such that N(1/n) ≈ C n^d, which is what one would expect in the trivial case where S is a smooth space (a manifold) of integer dimension d.

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+[[image:Great Britain Box.svg|thumb|450px|Estimating the box-counting dimension of the coast of Great Britain]]
-{{Fungsi}}
+In [[fractal geometry]], the '''Minkowski–Bouligand dimension''', also known as '''Minkowski dimension''' or '''box-counting dimension''', is a way of determining the [[fractal dimension]] of a [[Set (mathematics)|set]] ''S'' in a [[Euclidean space]] '''R'''<sup>''n''</sup>, or more generally in a [[metric space]] (''X'',&nbsp;''d''). It is named after the [[Poland|Polish]] [[mathematician]] [[Hermann Minkowski]] and the [[France|French]] mathematician [[Georges Bouligand]].
-Dalam [[matematika]], '''fungsi''' merupakan pemetaan setiap anggota suatu [[himpunan]] yang disebut sebagai [[domain fungsi|domain]] atau variabel bebas, kepada anggota [[himpunan]] yang lain, disebut sebagai [[kodomain fungsi|kodomain]] atau variabel terikat. Fungsi ini seringkali dilambangkan dengan {{math|1=''f''}}, {{math|1=''g''}}, dan {{math|1=''h''}}, dan nilai fungsi {{math|1=''f''}} di {{math|1=''x''}} dilambangkan sebagai {{math|1=''f''(''x'')}}.
+To calculate this dimension for a fractal ''S'', imagine this fractal lying on an evenly spaced grid and count how many boxes are required to [[cover (topology)|cover]] the set. The box-counting dimension is calculated by seeing how this number changes as we make the grid finer by applying a [[box counting|box-counting]] algorithm.
-Konsep fungsi awalnya merupakan idealisasi yang menjelaskan bagaimana cara kuantitas yang berbeda bergantung pada kuantitas lain. Sebagai contoh, the posisi planet dikatakan sebagai ''fungsi'' dari waktu. Berdasarkan sejarah, konsep fungsi dikembangkan dengan kalkulus infinitesimal pada akhir abad ke-17, hingga konsep ini fungsi dipandang sebagai terdiferensialkan pada abad ke-19. Pada akhir abad ke-19, konsep fungsi dipandang sebagai teori himpunan, yang membuatnya mempunyai penerapan yang sangat besar di bidang manapun, seperti di [[ilmu sains]], [[rekayasa]], dan hampir semua cabang matematika. Fungsi dapat dikatakan sebagai "pusat objek dalam menginvestigasi" di hampir semua cabang matematika.{{sfn |Spivak |2008 |p=39}}
+Suppose that ''N''(''ε'') is the number of boxes of side length ''ε'' required to cover the set. Then the box-counting dimension is defined as
-Suatu fungsi diwakili dengan himpunan dari semua [[Pasangan (matematika)|pasangan]] {{math|(''x'', ''f''{{hair space}}(''x''))}}, yang disebut sebagai ''[[Grafik fungsi|grafik fungsi]]''.<ref group="note">Definisi "grafik" ini mengacu pada ''himpunan'' dari pasangan objek. Grafik, yang diartikan sebagai ''diagram'', merupakan alat yang paling sering dipakai dalam fungsi dari bilangan real ke bilangan real. Semua fungsi dapat dijelaskan dengan himpunan pasangan, namun hal ini tidak dapat membangun diagram mengenai fungsi di antara himpunan lain (seperti himpunan matriks).</ref><ref>{{Cite web|title=function {{!}} Definition, Types, Examples, & Facts| url=https://www.britannica.com/science/function-mathematics|access-date=2020-08-17|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> Ketika domain dan kodomain merupakan himpunan bilangan real, masing-masing pasangan dapat dipandang secara khusus sebagai [[koordinat Cartesius]] dari titik di bidang. Himpunan dari titik-titik tersebut inilah yang mempunyai istilah populer yang dipakai untuk mengilustrasikan fungsi, yaitu grafik fungsi.
+: <math>\dim_\text{box}(S) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)}.</math>
-== Definisi ==
+Roughly speaking, this means that the dimension is the exponent ''d'' such that ''N''(1/''n'') &asymp; ''C&nbsp;n<sup>d</sup>'', which is what one would expect in the trivial case where ''S'' is a smooth space (a manifold) of integer dimension ''d''.
-== Sejarah ==
-{{Main|Sejarah konsep fungsi}}Istilah "fungsi" diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dalam surat yang ditulis pada tahun 1673, yang menjelaskan kuantitas yang berkaitan dengan titik [[kurva]],  contohnya seperti [[koordinat]] atau [[kemiringan]] kurva.<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Functions}}</ref><ref>Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" ({{harvnb|Eves|1990|p=234}}).</ref> [[Johann Bernoulli]] mulai menyebut ekspresi tersebut sebagai "fungsi" variabel tunggal dan setuju dengan Leibniz pada tahun 1698 bahwa setiap kuantitas yang dibentuk "melalui aljabar dan transendental" dapat disebut sebagai fungsi dari ''x''.<ref name="Bourbaki2003">{{cite book|author=N. Bourbaki|date=18 September 2003|url=https://books.google.com/books?id=dtYLvM02cRYC&pg=PA154|title=Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-65340-0|pages=154–}}</ref> Hingga pada 1718, ia memandang bahwa "setiap ekspresinya merupakan bentuk dari variabel dan nilai konstanta."{{sfn|Eves|1990|p=234}}
-== Notasi ==
-Salah satu notasi yang paling umum digunakan adalah notasi fungsional, yang dilambangkan sebagai {{Math|''f''(''x'')}}. Notasi ini pertama kali dipakai oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1734.<ref name=":0">{{citation|author=Ron Larson, Bruce H. Edwards|title=Calculus of a Single Variable|page=19|year=2010|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-538-73552-0}}</ref> Dalam beberapa notasi fungsi, biasanya ditulis dalam dua atau tiga huruf yang dipakai sebagai penyingkatan nama fungsi. Contohnya dapat dilihat pada [[Sinus (trigonometri)|fungsi sinus]], yang dilambangkan sebagai {{Math|sin ''x''}}.
-Ada beberapa notasi lain yang dapat dilambangkan sebagai fungsi. Fungsi dapat dinotasikan sebagai:
-* notasi panah, misalkan {{Math|''f'': ''A'' → ''B''}}, yang mengartikan bahwa {{math|1=''f''}} adalah suatu fungsi dengan domain {{Math|''A''}} dan kodomain {{Math|''B''}}. Fungsi seringkali disebut "pemetaan" atau "transformasi".
-* notasi indeks
-* notasi bintik
-== Representasi fungsi ==
-=== Grafik fungsi ===
-{{Main|Grafik fungsi}}
-=== Tabel ===
-{{Main|Tabel matematika}}
-== Catatan ==
-<references group="note" />
-== Referensi ==