Teorema Jacobi (geometri): Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 4 September 2022 06.43

Sudut damping yang diwarnai bernilai sama dalam pengukuran. Titik $N$ merupakan titik Jacobi untuk segitiga $ABC$ beserta sudut-sudutnya.

Dalam geometri bidang, sebuah titik Jacobi merupakan sebuah titik di bidang Euklides yang ditentukan oleh sebuah segitiga $ABC$ dan rangkap tiga sudut $\alpha$ , $\beta$ , dan $\gamma$ . Adanya informasi tersebut sudah cukup untuk menentukan ketiga titik $X$ , $Y$ , dan $Z$ sehingga $\angle ZAB=\angle YAC=\alpha$ , $\angle XBC=\angle ZBA=\beta$ , dan $\angle YCA=\angle XCB=\gamma$ . Berdasarkan teorema dari Karl Freidrich Andreas Jacobi, garis $AX$ , $BY$ , $CZ$ adalah setumpu,^[1]^[2]^[3] di sebuah titik $N$ yang disebut sebagai titik Jacobi.^[3]

Titik Jacobi merupakan sebuah perumuman dari titik Fermat, yang diperoleh dengan memisalkan $\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$ dan segitiga $ABC$ tidak memiliki sudut yang lebih besar atau sama dengan $120^{\circ }$ .

Jika ketiga sudut tersebut sama, maka $N$ yang terletak di hiperbola persegi panjang dinyatakan dalam bentuk koordinat luas dengan

\displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0

yang merupakan persamaan untuk hiperbola Kiepert. Setiap pilihan dari tiga sudut yang sama menentukan sebuah pusat segitiga.

Referensi

^ de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. Dynamic Mathematics Learning. hlm. 138–140. ISBN 9780557102952.
^ Glenn T. Vickers, "Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic", Forum Geometricorum 15, 2015, 179–183. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf
^ ^a ^b Glenn T. Vickers, "The 19 Congruent Jacobi Triangles", Forum Geometricorum 16, 2016, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf

[Michael-1] Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. Dynamic Mathematics Learning. hlm. 138–140. ISBN 9780557102952.

[2] Glenn T. Vickers, "Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic", Forum Geometricorum 15, 2015, 179–183. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf

[Vickers2016-3] Glenn T. Vickers, "The 19 Congruent Jacobi Triangles", Forum Geometricorum 16, 2016, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-[[Berkas:GeneralisationOfNapoleonPoint.svg|jmpl|Sudut damping yang berwarna adalah sama dalam ukurannya. Titik <math>N </math> merupakan titik Jacobi untuk segitiga <math>ABC </math> dan sudut-sudutnya.]]
+[[Berkas:GeneralisationOfNapoleonPoint.svg|jmpl|Sudut damping yang diwarnai bernilai sama dalam pengukuran. Titik <math>N </math> merupakan titik Jacobi untuk segitiga <math>ABC </math> beserta sudut-sudutnya.|320x320px]]
-Dalam [[geometri bidang]], sebuah '''titik Jacobi''' merupakan sebuah titik dalam [[bidang Euklides]] yang ditentukan oleh sebuah [[segitiga]] <math>ABC</math> dan sebuah rangkap tiga sudut <math>\alpha </math>, <math>\beta </math>, dan <math>\gamma </math>. Informasi ini cukup untuk menentukan ketiga titik <math>X </math>, <math>Y </math>, dan <math>Z </math> sehingga <math>\angle ZAB = \angle YAC = \alpha </math>, <math>\angle XBC = \angle ZBA = \beta </math>, dan <math>\angle YCA = \angle XCB = \gamma </math>. Maka, oleh sebuah teorema dari [[Karl Freidrich Andreas Jacobi]] ([[:de:Karl Friedrich Andreas Jacobi|de]]), garis <math>AX </math>, <math>BY </math>, <math>CZ </math> adalah [[Garis setumpu|setumpu]],<ref name="Michael">{{cite book|last=de Villiers|first=Michael|year=2009|title=Some Adventures in Euclidean Geometry|publisher=Dynamic Mathematics Learning|isbn=9780557102952|pages=138–140}}</ref><ref>Glenn T. Vickers, "Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic", ''Forum Geometricorum 15, 2015, 179–183. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf''</ref><ref name="Vickers2016">Glenn T. Vickers, "The 19 Congruent Jacobi Triangles", ''[[Forum Geometricorum]]'' 16, 2016, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf</ref> di sebuah titik <math>N</math> disebut [[titik Jacobi]].<ref name="Vickers2016" />
+Dalam [[geometri bidang]], sebuah '''titik Jacobi''' merupakan sebuah titik di [[bidang Euklides]] yang ditentukan oleh sebuah [[segitiga]] <math>ABC</math> dan rangkap tiga sudut <math>\alpha </math>, <math>\beta </math>, dan <math>\gamma </math>. Adanya informasi tersebut sudah cukup untuk menentukan ketiga titik <math>X </math>, <math>Y </math>, dan <math>Z </math> sehingga <math>\angle ZAB = \angle YAC = \alpha </math>, <math>\angle XBC = \angle ZBA = \beta </math>, dan <math>\angle YCA = \angle XCB = \gamma </math>. Berdasarkan teorema dari [[Karl Freidrich Andreas Jacobi]], garis <math>AX </math>, <math>BY </math>, <math>CZ </math> adalah [[Garis setumpu|setumpu]],<ref name="Michael">{{cite book|last=de Villiers|first=Michael|year=2009|title=Some Adventures in Euclidean Geometry|publisher=Dynamic Mathematics Learning|isbn=9780557102952|pages=138–140}}</ref><ref>Glenn T. Vickers, "Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic", ''Forum Geometricorum 15, 2015, 179–183. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf''</ref><ref name="Vickers2016">Glenn T. Vickers, "The 19 Congruent Jacobi Triangles", ''[[Forum Geometricorum]]'' 16, 2016, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf</ref> di sebuah titik <math>N</math> yang disebut sebagai [[titik Jacobi]].<ref name="Vickers2016" />
-Titik Jacobi merupakan sebuah perampatan dari [[titik Fermat]], yang diperoleh dengan memisalkan <math>\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ </math> dan segitiga <math>ABC </math> tidak memiliki sudut yang menjadi lebih besar atau sama dengan <math>120^\circ </math>.
+Titik Jacobi merupakan sebuah perumuman dari [[titik Fermat]], yang diperoleh dengan memisalkan <math>\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ </math> dan segitiga <math>ABC </math> tidak memiliki sudut yang lebih besar atau sama dengan <math>120^\circ </math>.
-Jika ketiga sudut di atas adalah sama, maka <math>N </math> terletak di hiperbola persegi panjang yang diberikan di [[koordinat luas]] oleh
+Jika ketiga sudut tersebut sama, maka <math>N </math> yang terletak di hiperbola persegi panjang dinyatakan dalam bentuk [[koordinat luas]] dengan
 : <math> \displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0 </math>
-yang merupakan [[hiperbola Kiepert]]. Setiap pilihan dari tiga sudut yang sama menentukan sebuah [[pusat segitiga]].
+yang merupakan persamaan untuk [[hiperbola Kiepert]]. Setiap pilihan dari tiga sudut yang sama menentukan sebuah [[pusat segitiga]].
 == Referensi ==