Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

Dalam matematika jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, devais optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.

Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.

Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pemrosesan sinyal dan teori kemungkinan.

Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas.

Definisi formal

Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Limit bawah $0^{-}$ adalah kependekan dari $\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon \$ dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac $\delta (t)\$ pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0.

Secara umum parameter s bernilai kompleks:

$s=\sigma +i\omega \,$

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.

Tabel berikut ini adalah daftar transformasi Laplace:

Karakteristik transformasi Laplace

	Domain waktu	Domain s	Keterangan
Linearitas	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana.
Turunan domain-frekuensi	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	F′ adalah turunan pertama dari F.
Turunan umum domain-frekuensi	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	Bentuk yang lebih umum, turunan ke-n dari F(s).
Turunan	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	f diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi, dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial. Lalu didapatkan melalui integral parsial
Turunan kedua	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	f diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial. Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke f′(t).
Turunan secara umum	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0)\$	f diasumsikan diturunkan ke-n kali, dengan turunan ke-n adalah eksponensial. Dilanjutkan dengan induksi matematika.
Integrasi domain-frekuensi	${\frac {1}{t}}f(t)\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
Integrasi domain-waktu	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	u(t) adalah fungsi step Heaviside. Catat bahwa (u ∗ f)(t) adalah konvolusi dari u(t) dan f(t).
Frequency shifting	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
Time shifting	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	u(t) adalah fungsi step Heaviside
Time scaling	$f(at)$	${\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)$	$a>0\$
Perkalian	$f(t)g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal Re(σ) = c yang terletak di antara luasan konvergen F.
Konvolusi	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$
Konjugasi kompleks	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
Cross-correlation	$f(t)\star g(t)$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
Fungsi periodik	$f(t)$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	f(t) adalah fungsi periodik dari periode T sehingga f(t) = f(t + T), untuk semua t ≥ 0.

Referensi

Modern

• Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (edisi ke-2nd), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4 
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (edisi ke-3rd), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8 
• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403 
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (edisi ke-2nd), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1 
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923 
• Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5 
• Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal", Magyar Hiradastechnika (dalam bahasa Hungarian), IV (7–8): 93–96 Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)

Klasik

• Euler, L. (1744), "De constructione aequationum" [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), 22: 150–161 
• Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales" [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), 22: 181–213 
• Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, Volume 2" [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743 , Chapters 3–5
• Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (dalam bahasa Latin), II, Paris: Petropoli, ch. 3–5, pp. 57–153 
• Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", dalam Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1 
• Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, hlm. 171–234 

Bacaan lanjutan

• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3 .
• Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (edisi ke-Third), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4 
• Deakin, M. A. B. (1981), "The development of the Laplace transform", Archive for History of Exact Sciences, 25 (4): 343–390, doi:10.1007/BF01395660 
• Deakin, M. A. B. (1982), "The development of the Laplace transform", Archive for History of Exact Sciences, 26 (4): 351–381, doi:10.1007/BF00418754 
• Doetsch, Gustav (1974), Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, ISBN 978-0-387-06407-9 
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3 
• Schwartz, Laurent (1952), "Transformation de Laplace des distributions", Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] (dalam bahasa French), 1952: 196–206, MR 0052555 Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
• Schwartz, Laurent (2008) [1966], Mathematics for the Physical Sciences, Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications, hlm. 215–241, ISBN 978-0-486-46662-0  - See Chapter VI. The Laplace transform.
• Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3 
• Widder, David Vernon (1945), "What is the Laplace transform?", The American Mathematical Monthly, 52 (8): 419–425, doi:10.2307/2305640, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305640, MR 0013447 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Laplace transform", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". MathWorld. 
• Good explanations of the initial and final value theorems Diarsipkan 2009-01-08 di Wayback Machine.
• Laplace Transforms at MathPages
• Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
• Laplace Calculator to calculate Laplace Transforms online easily.