Integral Riemann

Integral sebagai luas daerah pada bagian bawah kurva.

Urutan jumlah Riemann pada partisi reguler dari suatu interval. Bilangan diatas adalah total luas persegi panjang, yang konvergensinya ke integral fungsi.

Partisi tidak harus reguler, seperti yang ditunjukkan dibagian ini. Aproksimasi bekerja selama lebar setiap sub-pembagian cenderung ke nol.

Dalam cabang matematika yang disebut juga sebagai analisis real, integral Riemann, yang dibuat oleh Bernhard Riemann, adalah definisi bagian pertama suatu integral dari fungsi terhadap selang. Hal tersebut dipresentasikan ke fakultas di Universitas Göttingen pada tahun 1854, namun tidak diterbitkan dalam jurnal sampai tahun 1868. Untuk banyak fungsi dan aplikasi praktis, integral Riemann dievaluasikan dengan teorema dasar kalkulus maupun dengan integrasi numerik.

Integral Riemann tidak cocok untuk banyak tujuan teoretis. Beberapa kekurangan teknis dalam integral Riemann diperbaiki dengan integral Riemann–Stieltjes, dan sebagian besar menghilang dengan integral Lebesgue, meskipun yang terakhir tidak memiliki perlakuan yang memuaskan untuk integral takwajar. Integral Henstock–Kurzweil adalah generalisasi integral Lebesgue yang sekaligus lebih dekat ke integral Riemann. Teori-teori yang lebih umum ini memungkinkan integrasi fungsi yang lebih "bergerigi" atau "sangat berosilasi" pada bagian integral Riemann yang tidak ada; tetapi teori memberikan nilai yang sama dengan integral Riemann jika memang ada.

Dalam pengaturan pendidikan, integral Darboux menawarkan definisi yang lebih sederhana dan yang lebih mudah digunakan; biasanya digunakan untuk memperkenalkan integral Riemann. Integral Darboux didefinisikan setiap kali pada integral Riemann, dan selalu memberikan hasil yang sama. Sebaliknya, integral Henstock–Kurzweil adalah generalisasi integral Riemann yang sederhana namun lebih kuat dan telah mengarahkan beberapa pendidik untuk menganjurkan bahwa hal itu harus menggantikan integral Riemann dalam kursus kalkulus pengantar.

Ikhtisar

Misalkan $f$ merupakan fungsi bernilai real taknegatif pada interval $[a,b]$, dan misalnya

$S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}$

sebagai wilayah bidang bawah pada grafik fungsi $f$ dan atas interval $[a,b]$ (lihat gambar pada bagian kanan atas). Apabila tertarik untuk mengukur luas $S$. Setelah mengukurnya, kita akan menunjukkan luas dengan:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Ide dasar integral Riemann adalah menggunakan pendekatan yang sederhana untuk luas $S$. Dengan mengambil aproksimasi yang lebih baik dan lebih baik, kita mengatakan bahwa "dalam batas" kita mendapatkan luas $S$ yang tepat pada bagian bawah kurva.

Dimana $f$ keduanya bisa menjadi positif dan negatif, definisi $S$ dimodifikasi, sehingga integralnya sesuai dengan luas bertanda pada bagian bawah grafik $f$: yaitu, luas atas sumbu-$x$ dikurangi luas bawah sumbu-$x$.

Definisi

Partisi selang

Sebuah partisi selang $[a,b]$ adalah barisan bilangan hingga berbentuk

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b$

Setiap [x_i, x_{i + 1}] disebut sub-selang dari partisi. Jaring atau norma partisi didefinisikan sebagai panjang sub-selang terpanjang, yaitu,

$\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1]$.

Partisi tanda $P(x,t)$ dari suatu interval $[a,b]$ adalah partisi bersama dengan barisan bilangan hingga $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ bersubjek pada syarat bahwa untuk setiap $i$, $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$. Dengan kata lain, itu adalah partisi bersama dengan titik yang dibedakan dari setiap sub-selang. Jaring partisi yang diberi tag sama dengan partisi biasa.

Misalkan dua partisi $P(x,t)$ dan $Q(y,s)$ keduanya merupakan partisi dari interval $[a,b]$. Bahwa $Q(y,s)$ adalah penghalusan dari $P(x,t)$ jika untuk setiap bilangan bulat $i$, dengan $i\in [0,n]$ adalah bilangan bulat $r(i)$ sehingga $x_{i}=y_{r(i)}$ dan sehingga $t_{i}=s_{j}$ untuk suatu $j$ dengan $j\in [r(i),r(i+1)]$. Dengan lebih sederhana, penghalusan partisi tanda memecahkan beberapa sub-selang dan menambahkan tanda ke partisi (jika perlu), sehingga "penghalus" sebagai keakuratan partisi.

Maka, kita dapat mengubah himpunan semua partisi tanda menjadi himpunan berarah dengan satu partisi tanda besar lebih dari atau sama dengan yang lain jika yang pertama adalah penghalusan dari yang terakhir.

Jumlah Riemann

Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval $[a,b]$. Jumlah Riemann dari $f$ berhubung dengan partisi tanda $x_{0},\dots ,x_{n}$ bersama dengan $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ adalah

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$.

Setiap istilah dalam jumlah adalah darab dari nilai fungsi pada titik tertentu dan panjang interval. Akibatnya, setiap istilah mewakili luas (bertanda) persegi panjang dengan tinggi $f(t_{i})$ dan lebar $x_{i+1}-x_{i}$. Jumlah Riemann adalah luas (bertanda) dari semua persegi panjang.

Konsep yang terkait adalah jumlah Darboux bawah dan atas. Ini mirip seperti dengan jumlah Riemann, namun tanda diganti dengan infimum dan supremum (masing-masing) dari f untuk setiap sub-selang:

${\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i})\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i})\end{aligned}}$

Jika $f$ adalah kontinu, maka jumlah Darboux bawah dan atas untuk partisi tak-bertanda sama dengan jumlah Riemann untuk partisi itu, dimana tanda dipilih sebagai minimum atau maksimum (masing-masing) $f$ pada setiap sub-selang? Ketika $f$ terputus dengan sub-selang, mungkin tidak ada tanda yang mencapai infimum atau supremum pada sub-selang tersebut. Integral Darboux yang mirip dengan integral Riemann tetapi berdasarkan jumlah Darboux, setara dengan integral Riemann.

Integral Riemann

Secara khusus, integral Riemann adalah limit dari jumlah Riemann dari suatu fungsi ketika partisi menjadi halus. Apabila limitnya ada, maka fungsi tersebut dikatakan terintegrasi (atau lebih spesifik terintegrasi-Riemann). Jumlah Riemann dapat dibuat sedekat yang diinginkan dengan integral Riemann dengan membuat partisi halus.

Salah satu persyaratan penting adalah bahwa hubungan partisi menjadi lebih kecil dan lebih kecil, sehingga dalam limitnya adalah nol. Jika tidak demikian, maka kita tidak akan mendapatkan aproksimasi yang baik untuk fungsi pada sub-selang tertentu. Sebenarnya, hal ini cukup untuk mendefinisikan integral. Untuk lebih spesifik, dengan menyatakan bahwa integral Riemann dari $f$ sama dengan $s$ jika kondisi berikut berlaku:

Untuk semua $\varepsilon >0$, terdapat $\delta >0$ sehingga untuk partisi bertanda $x_{0},\dots ,x_{n}$ dan $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ yang hubungannya kurang dari $\delta$, maka

$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon$.

Sayangnya, definisi ini sangat sulit digunakan. Hal ini akan membantu untuk mengembangkan definisi yang setara dari integral Riemann yang lebih mudah untuk dikerjakan. Kita mengembangkan definisi ini sekarang, dengan bukti kesetaraan berikut. Definisi baru kita mengatakan bahwa integral Riemann dari $f$ sama dengan $s$ jika syarat berikut berlaku:

Untuk semua $\varepsilon >0$, terdapat partisi bertanda $y_{0},\dots ,y_{m}$ dan $r_{0},\dots ,r_{m-1}$ sehingga untuk setiap partisi bertanda $x_{0},\dots ,x_{n}$ dan $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ yang merupakan penghalusan dari $y_{0},\dots ,y_{m}$ dan $r_{0},\dots ,r_{m-1}$, kita mempunyai

$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$

Pada akhirnya, kedua hal ini berarti bahwa jumlah Riemann dari $f$ berhubung dengan setiap partisi akan terungkap dekat $s$. Karena ini benar maupun tidak peduli seberapa dekat kita menuntut jumlah terungkap, kita mengatakan bahwa jumlah Riemann konvergen ke $s$. Definisi ini sebenarnya merupakan kasus khusus dari konsep yang lebih umum yaitu sebuah jaring.

Seperti yang kita nyatakan sebelumnya, kedua definisi ini adalah ekuivalen. Dengan kata lain, $s$ berfungsi dalam definisi pertama jika dan hanya jika $s$ berfungsi dalam definisi kedua. Untuk menunjukkan bahwa definisi pertama menyatakan definisi kedua, mulailah dengan $\varepsilon$, dan pilih $\delta$ yang memenuhi kondisi. Pilih partisi bertanda yang hubungannya kurang dari $\delta$. Jumlah Riemann-nya berada dalam $\varepsilon$ dari $s$, dan setiap penghalusan dari partisi ini juga akan memiliki hubungan kurang dari $\delta$, jadi jumlah Riemann dari penghalusan juga akan berada dalam $\varepsilon$ dari $s$.

Untuk menunjukkan bahwa definisi kedua menyatakan definisi pertama, paling mudah menggunakan integral Darboux. Pertama, satu menunjukkan bahwa definisi kedua setara dengan definisi integral Darboux; untuk ini lihat artikel integral Darboux. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa fungsi integral Darboux memenuhi definisi pertama. Menetapkan $\varepsilon$, dan pilih partisi $y_{0},\dots ,y_{m}$ sehingga jumlah Darboux bawah dan atas sehubungan dengan partisi ini berada dalam $\varepsilon /2$ dari nilai $s$ integral Darboux. Maka

$r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$.

Jika $r=0$, maka $f$ adalah fungsi nol, yang jelas merupakan integral Darboux dan Riemann dengan integral nol. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa $r>0$. Jika $m>1$, maka kita memilih $\delta$ sehingga

$\delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}$

Jika $m=1$, maka kita memilih $\delta$ kurang dari satu. Pilih partisi bertanda $x_{0},\dots ,x_{n}$ dan $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ dengan hubungan lebih kecil dari $\delta$. Kita harus menunjukkan bahwa jumlah Riemann berada dalam $\varepsilon$ dari $s$.

Untuk melihat ini, pilih selang $[x_{i},x_{i+1}]$. Jika selang ini terdapat dalam beberapa $[y_{j},y_{j+1}]$, maka

$m_{j}<f(t_{i})<M_{j}$

dimana $m_{j}$ dan $M_{j}$, infimum dan supremum dari $f$ pada $[y_{j},y_{j+1}]$. Jika semua selang memiliki sifat ini, maka ini akan menyimpulkan buktinya, karena setiap suku dalam jumlah Riemann akan dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux, dan kita memilih jumlah Darboux yang mendekati $s$. Ini adalah kasus ketika $m=1$ menjadi bukti yang selesai dalam kasus itu.

Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan $m>1$. Dalam hal ini, mungkin salah satu dari $[x_{i},x_{i+1}]$ tidak terkandung dalam [y_j, y_{j + 1}]. Sebaliknya, hal tersebut mungkin membentang dua selang yang ditentukan oleh $y_{0},\dots ,y_{m}$. Hal itu tidak dapat memenuhi tiga interval karena $\delta$ diasumsikan lebih kecil dari panjang salah satu interval. Dalam simbol, maka

$y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}$.

Kita berasumsi bahwa semua pertidaksamaan ketat karena jika tidak, kita berada dalam kasus sebelumnya dengan asumsi panjang $\delta$. Ini bisa saja terbukti paling banyak mengkali $m-1$.

Untuk menangani kasus ini, kita akan memperkirakan perbedaan antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux dengan membagi partisi $x_{0},\dots ,x_{n}$ di $y_{j+1}$. Penyebutan $f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})$ dalam jumlah Riemann dibagi menjadi dua penyebut:

$f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right)$

Misalkan, tanpa kehilangan keumuman, bahwa $t_{i}\in [y_{j},y_{j+1}]$. Maka

$m_{j}<f(t_{i})<M_{j}$,

jadi suku ini dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux untuk $y_{j}$. Untuk mengikat bentuk lainnya, perhatikan bahwa

$x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}}$,

Oleh karena itu, untuk suatu (memang ada) $t_{i}^{*}\in [y_{j+1},x_{i+1}]$,

$\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}$.

Karena ini terjadi paling banyak mengkali $m-1$, jarak antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux paling banyak $\varepsilon /2$. Oleh karena itu, jarak antara jumlah Riemann dan $s$ paling banyak ε.

Contoh

Misalkan $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ sebagai fungsi yang mengambil nilai 1 setiap titik. Setiap jumlah Riemann dari $f$ pada $[0,1]$ akan memiliki nilai 1, oleh karena itu integral Riemann dari $f$ pada [0, 1] adalah 1.

Misalkan $I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}$ sebagai fungsi indikator dari bilangan rasional di $[0,1]$; yaitu, $I_{\mathbb {Q} }$ mengambil nilai 1 pada bilangan rasional dan 0 pada bilangan irasional. Fungsi ini tidak memiliki integral Riemann. Untuk membuktikan ini, kita akan menunjukkan bagaimana membangun partisi bertanda yang jumlah Riemannnya mendekati nol dan satu secara berurutan.

Untuk memulai, maka $x_{0},\dots ,x_{n}$ dan $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ menjadi partisi bertanda (setiap $t_{i}$ diantara $x_{i}$ dan $x_{i+1}$). Pilihlah $\varepsilon >0$. $t_{i}$ telah dipilih, dan nilai $f$ tidak dapat diubah pada titik tersebut. Tetapi jika kita memotong partisi menjadi potongan-potongan kecil disekitar $t_{i}$, kita dapat meminimalkan efek $t_{i}$. Kemudian, dengan memilih tanda baru secara hati-hati, kita dapat membuat nilai penjumlahan Riemann berada dalam $\varepsilon$ dari nol atau satu.

Langkah pertama kita adalah memotong partisi. Ada $n$ dari $t_{i}$, dan ingin efek totalnya kurang dari $\varepsilon$. Jika membatasi masing-masing dari mereka ke selang yang panjangnya kurang dari $\varepsilon /n$, maka kontribusi dari setiap $t_{i}$ pada jumlah Riemann paling sedikit $0\cdot \varepsilon /n$ dan paling banyak $1\cdot \varepsilon /n$. Ini setidaknya membuat jumlah total nol dan paling banyak dari $\varepsilon$. Jadi δ menjadi bilangan positif yang kurang dari $\varepsilon /n$. Jika kebetulan dua dari $t_{i}$ berada dalam δ satu sama lain, pilihlah $\delta$ lebih kecil. Jika terjadi bahwa beberapa $t_{i}$ berada dalam δ dari beberapa x_j, dan t_i tidak sama dengan $x_{j}$, pilihlah δ lebih kecil. Karena hanya ada $t_{i}$ dan $x_{j}$, kita selalu dapat memilih $\delta$ secukupnya kecil.

Sekarang kita tambahkan dua potongan ke partisi untuk setiap $t_{i}$. Salah satu potongan berada di $t_{i}-\delta /2$, dan yang lainnya akan berada di $t_{i}+\delta /2$. Jika salah satu dari ini meninggalkan selang $[0,1]$ maka kita tinggalkan. $t_{i}$ akan menjadi tanda yang sesuai dengan sub-selang

$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right]$.

Jika $t_{i}$ berada tepat diatas salah satunya $x_{j}$, maka kita misalkan $t_{i}$ sebagai tanda untuk kedua selang:

$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right]$ dan $\left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right]$.

Kita harus memilih tanda untuk sub-selang lainnya. Apabila memilih mereka dalam dua cara yang berbeda. Cara pertama adalah selalu memilih tititk rasional, sehingga jumlah Riemann sebesar mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann setidaknya $1-\varepsilon$. Cara kedua adalah selalu memilih titik irasional, sehingga jumlah Riemann sekecil mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann banyak $\varepsilon$.

Karena baru memulai dari partisi sembarang dan berakhir sedekat yang diinginkan dengan nol atau satu, salah satunya salah untuk mengatakan bahwa akhirnya terjebak dekat suatu bilangan $s$, maka fungsi ini tidak diintegrasikan Riemann. Namun, ini adalah integral Lebesgue. Dalam pengertian Lebesgue integralnya adalah nol, karena fungsinya adalah nol hampir di mana-mana. Tapi ini adalah fakta yang berada di luar jangkauan integral Riemann.

Ada contoh yang buruk lagi. $I_{\mathbb {Q} }$ setara (yaitu, hampir sama di semua tempat) dengan fungsi integral Riemann, tetapi ada fungsi-fungsi hingga tak-terintegrasi Riemann yang tak-ekuivalen dengan fungsi-fungsi tak-terintegrasi Riemann mana pun. Misalnya, $C$ menjadi himpunan Smith–Volterra–Cantor, dan $I_{C}$ menjadi fungsi indikatornya. Karena $C$ tak-terukur Jordan, maka $I_{C}$ tidak dapat diintegrasikan Riemann. Selain itu, tidak ada fungsi $g$ yang setara dengan $I_{C}$ yang dapat diintegrasikan Riemann: $g$, seperti $I_{C}$ yang harus nol pada himpunan rapat, jadi seperti pada contoh sebelumnya, setiap jumlah Riemann dari $g$ memiliki penghalusan yang berada dalam $\varepsilon$ dari 0 untuk bilangan positif suatu $\varepsilon$. Tetapi jika integral Riemann dari $g$ memang ada, maka ia harus sama dengan integral Lebesgue dari $I_{C}$, yaitu $1/2$. Oleh karena itu, $g$ tidak dapat diintegrasikan Riemann.

Konsep serupa

Sangat populer untuk mendefinisikan integral Riemann sebagai integral Darboux. Ini karena integral Darboux secara teknis lebih sederhana dan karena suatu fungsi dapat terintegral (secara) Riemann jika dan hanya jika terintegral (secara) Darboux.

Beberapa buku kalkulus tidak menggunakan partisi bertanda umum, tetapi limit-diri pada jenis tertentu dari partisi bertanda. Jika jenis partisi memiliki banyak limit, beberapa fungsi tak-terintegralkan mungkin tampak terintegralkan.

Salah satu limit terkenal adalah penggunaan jumlah Riemann "-kiri" dan "-kanan". Dalam jumlah Riemann kiri, $t_{i}=x_{i}$ untuk semua i, dan dalam jumlah Riemann kanan, $t_{i}=x_{i+1}$ untuk semua $i$. Pembatasan ini saja tidak menimbulkan masalah: dapat diperbaiki partisi dengan cara menjadikannya jumlah kiri atau kanan dengan membagi setiap t_i. Dalam bahasa formal, himpunan dari semua jumlah Riemann kiri dan himpunan dari semua jumlah Riemann kanan adalah kofinal pada himpunan semua partisi bertanda.

Batasan terkenal lainnya adalah penggunaan sub-pembagi reguler dari suatu selang. Misalnya, subdivisi reguler ke-$n$ dari $[0,1]$ terdiri dari interval

$\left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right]$.

Sekali lagi, batasan ini hanya saja tidak menimbulkan masalah, tetapi penalaran yang diperlukan untuk melihat penyesuaian ini lebih sulit daripada dalam kasus penjumlahan Riemann kiri dan kanan.

Namun, menggabungkan batasan ini, sehingga hanya menggunakan jumlah Riemann kiri atau tangan kanan pada selang bertanda reguler, adalah bahaya. Jika suatu fungsi diketahui sebelumnya sebagai integral Riemann, maka teknik ini akan memberikan nilai integral yang benar. Tetapi pada kondisi ini fungsi indikator $I_{\mathbb {Q} }$ akan tampak terintegralkan pada $[0,1]$ dengan integral sama dengan satu: Setiap titik akhir dari setiap sub-selang akan menjadi bilangan rasional, jadi fungsi dievaluasi pada bilangan rasional, dan karena itu akan tampak selalu sama dengan satu. Masalah dengan definisi ini menjadi jelas ketika kita mencoba membagi integral menjadi dua bagian. Persamaan berikutnya berlaku:

$\int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,\mathrm {d} x+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,\mathrm {d} x$.

Jika kita menggunakan pembagian biasa dan jumlah Riemann kiri atau kanan, maka dua suku sebelah kiri sama dengan nol, karena setiap titik akhir kecuali 0 dan 1 akan irasional, tetapi seperti yang telah kita lihat, suku sebelah kanan akan sama dengan 1.

Seperti yang didefinisikan di atas, integral Riemann menghindari masalah ini dengan tidak menggunakan untuk mengintegrasikan $I_{\mathbb {Q} }.$ Integral Lebesgue didefinisikan sedemikian rupa sehingga semua integral ini adalah 0.

Sifat

Linearitas

Integral Riemann adalah transformasi linear; yaitu, jika $f$ dan $g$ terintegralkan dengan Riemann pada $[a,b]$ dan $\alpha$ dan $\beta$ adalah konstanta, maka

$\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$.

Karena integral Riemann dari suatu fungsi adalah bilangan, ini membuat integral Riemann menjadi fungsional linear pada ruang vektor dari fungsi integral Riemann.

Lihat pula

• Luas
• Integral tak tentu
• Integrasi Lebesgue

Referensi

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis, Addison-Wesley 

Pranala luar

• Media tentang Integral Riemann di Wikimedia Commons
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Riemann integral", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4