Bentuk modular

"Modular function" beralih ke halaman ini. Penggunaan yang berbeda dari istilah ini muncul dalam kaitannya dengan Ukuran Haar.

Dalam matematika, bentuk modular adalah fungsi analitik (kompleks) pada setengah bidang atas yang memenuhi persamaan fungsional tertentu yang berkaitan dengan tindakan grup dari grup modular, dan juga memenuhi suatu kondisi pertumbuhan tertentu. Oleh karena itu, teori bentuk modular dimiliki oleh analisis kompleks, tetapi kepentingan utama teori ini secara tradisional berhubungan dengan teori bilangan. Bentuk modular muncul di area lain, seperti topologi aljabar, kemasan bola, dan teori dawai.

Fungsi modular adalah fungsi yang, seperti bentuk modular, adalah invarian sehubungan dengan grup modular, tetapi tanpa syarat itu f (z) menjadi holomorfik di bidang setengah atas. Sebaliknya, fungsi modular adalah meromorfik (artinya, holomorfik di mana-mana, kecuali di titik-titik yang saling terisolasi satu sama lain; titik-titik ini merupakan pole).

Teori bentuk modular adalah kasus khusus dari teori bentuk automorfik yang merupakan fungsi yang didefinisikan pada grup Lie yang berubah dengan "baik" jika diberikan tindakan oleh grup diskret tertentu, memperumum contoh grup modular $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$

Definisi umum bentuk modular

Secara umum, misalkan $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ adalah subgrup dengan indeks terbatas, disebut grup aritmetika, bentuk modular tingkat $\Gamma$ dengan bobot $k$ adalah fungsi holomorfik $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ dengan ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}$ (setengah bidang atas) sehingga dua kondisi berikut terpenuhi:

1. (Kondisi automorfik) Untuk setiap $\gamma \in \Gamma$, berlaku persamaan $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$

2. (Kondisi pertumbuhan) Untuk setiap $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$, fungsi $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ terbatas seiring ${\text{Im}}(z)\to \infty$

dengan $\gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}$ untuk setiap matriks $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).$ Dengan demikian, untuk setiap matriks $\gamma _{1},\gamma _{2}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, komposisi fungsi $(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})(z)$ direpresentasikan oleh perkalian matriks $\gamma _{1}\gamma _{2}$. Selain itu, disebut bentuk taring (cusp form) jika memenuhi kondisi pertumbuhan berikut:

3. (Kondisi cuspidal) For any $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ the function $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ sebagai ${\text{im}}(z)\to \infty$

Sebagai bagian dari bundel garis

Bentuk modular juga dapat diartikan sebagai bagian dari bundel garis tertentu pada varietas modular. Untuk $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ bentuk modular tingkat $\Gamma$ dan bobot $k$ bisa didefinisikan sebagai elemen

$f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )$

dimana $\omega$ adalah bundel baris kanonik

$X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))$

Dimensi ruang bentuk modular ini dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Riemann–Roch. Bentuk modular klasik untuk $\Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ adalah bagian dari bundel garis pada tumpukan modulus kurva elips.

Bentuk modular untuk SL(2, Z)

Definisi standar

Bentuk modular dengan bobot k untuk grup modular

${\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}$

adalah fungsi kompleks  f  pada setengah bidang atas H = {z ∈ C, Im(z) > 0}, yang memenuhi tiga kondisi berikut:

1. Fungsi  f  holomorfik pada H.
2. Untuk setiap z ∈ H dan setiap matriks anggota SL(2, Z), berlaku:

   $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$

3. Fungsi  f  terbatas seiring z → i∞.

Catatan:

• Bobot k yang digunakan biasanya bilangan bulat positif.
• Untuk bilangan ganjil k, hanya fungsi nol yang memenuhi kondisi kedua.
• Kondisi ketiga biasanya disebut sebagai fungsi  f  "holomorfik di titik taring (cusp)", istilah yang akan dijelaskan di bawah. Secara eksplisit, kondisi ini mensyaratkan bahwa ada $M,D>0$ sedemikian sehingga jika $\operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D$, yang berarti fungsi $f$ terbatas pada daerah di atas garis horizontal.
• Jika kondisi kedua diterapkan pada dua matriks berikut

$S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},$ maka dihasilkan dua persamaan berikut

$f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z).$

Karena matriks S dan matriks T membangkitkan grup modular SL(2, Z), kondisi kedua di atas ekuivalen dengan terpenuhinya hanya kedua persamaan ini.

• Karena  f (z + 1) =  f (z), bentuk modular adalah fungsi periodik, dengan periode 1, sehingga memiliki deret Fourier.

Definisi via kekisi atau kurva eliptik

Bentuk modular dapat secara ekuivalen didefinisikan sebagai fungsi F dari himpunan kekisi di C ke himpunan bilangan kompleks yang memenuhi kondisi berikut:

1. Untuk sembarang konstan α tidak nol, jika kekisi Λ = Zα + Zz yang dibangkitkan oleh α dan variabel z, maka F(Λ) adalah fungsi analitik dari z.
2. Jika α adalah bilangan kompleks tidak nol dan αΛ adalah kekisi yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen kekisi Λ oleh α, tmaka F(αΛ) = α^−kF(Λ), dengan k adalah suatu konstanta (biasanya bilangan bulat positif) yang disebut bobot dari bentuk modular.
3. Modulus dari F(Λ) terbatas atas, jika modulus dari elemen terkecil tidak nol dari kekisi Λ memiliki batas bawah yang positif.

Ide utama yang digunakan untuk membuktikan ekuivalensi kedua definisi di atas adalah fungsi F dapat diketahui dari nilainya pada kekisi yang dapat dituliskan sebagai Z + Zτ, dengan τ ∈ H, karena kondisi kedua.

Contoh

I. Deret Eisenstein

Contoh termudah dari bentuk modular adalah deret Eisenstein. Untuk setiap bilangan genap k > 2, G_k(Λ) didefinisikan sebagai deret dari λ^−k dengan indeks λ bergerak pada semua vektor tak nol pada kekisi Λ:

$G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.$

Maka G_k adalah bentuk modular dengan bobot k. Untuk Λ = Z + Zτ, berlaku

$G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},$

dan

${\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}$

Syarat k > 2 diperlukan untuk menjamin deret konvergen; andaikan k ganjil maka suku λ^−k dan suku (−λ)^−k saling mengeliminasi satu sama lain pada deret, sehingga deretnya menjadi fungsi nol.

II. Fungsi theta pada kekisi unimodular genap

Kekisi unimodular genap L pada Rⁿ adalah kekisi yang dibangkitkan oleh n vektor yang membentuk kolom-kolom suatu matriks dengan determinan 1 dan memenuhi kuadrat panjang setiap vektor di L adalah bilangan genap. Fungsi theta

$\vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}$

konvergen jika Im(z) > 0, dan merupakan bentuk modular dengan bobot n/2 dari identitas deret Poisson. Konstruksi kekisi unimodular genap tidaklah mudah, namun berikut salah satu caranya: misalkan n adalah bilangan asli kelipatan 8 and tinjau semua vektor v di Rⁿ sedemikian sehingga 2v memiliki koordinat bilangan bulat, yang semuanya genap atau semua ganjil, dan jumlah semua koordinat pada v adalah bilangan genap. Misalkan kekisi ini sebagai L_n. Jika n = 8, kekisi ini dibangkitkan oleh akar-akar pada sistem akar yang biasa disebut E₈. Karena hanya terdapat satu bentuk modular dengan bobot 8 up to perkalian skalar,

$\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),$

walaupun kekisi L₈ × L₈ dan L₁₆ tidaklah similar. John Milnor mengamati bahwa tori berdimensi 16 yang diperoleh melalui topologi hasil bagi R¹⁶ dengan kekisi L₈ × L₈ dan dengan kekisi L₁₆ adalah contoh dua manifold Riemann kompak yang isospektral, namun tidak isometrik. (lihat Hearing the shape of a drum.)

III. Diskriminan modular

Informasi lebih lanjut: Fungsi eliptik Weierstrass § Diskriminan modular

Fungsi eta Dedekind didefinisikan sebagai

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.$

Maka, diskriminan modular Δ(z) = (2π)¹² η(z)²⁴ adalah bentuk modular dengan bobot 12. Kehadiran angka 24 pada fungsi ini memiliki kaitan dengan dimensi kekisi Leech yang adalah 24. Konjektur Ramanujan-Petersson mengklaim bahwa nilai mutlak dari koefisien q^p untuk setiap bilangan prima p pada ekspansi fungsi Δ(z) sebagai deret pangkat dalam q tidak melebihi 2p^11/2. Hal ini dibuktikan oleh Eichler, Shimura, Kuga, Ihara, dan Pierre Deligne sebagai akibat dari bukti Deligne konjektur Weil, yang dibuktikan mengakibatkan konjektur Ramanujan-Petersson.

Contoh kedua dan ketiga memberikan petunjuk mengenai hubungan antara bentuk modular dan pertanyaan klasik pada teori bilangan, seperti representasi bilangan oleh bentuk kuadratik dan fungsi partisi. Hubungan konseptual yang penting antara bentuk modular dan teori bilangan diilustrasikan oleh operator Hecke, yang juga menghubungkan antara bentuk modular dan teori representasi.

Fungsi modular

Ketika bobot $k$ bernilai 0, dapat ditunjukkan menggunakan teorema Liouville bahwa satu-satunya bentuk modular adalah fungsi konstan. Namun, jika syarat holomorfik diperingan mengarahkan pada gagasan fungsi modular. Sebuah fungsi $f:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {C}$ disebut modular jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Fungsi $f$ meromorfik di himpunan terbuka setengah bidang atas ${\mathcal {H}}$.
2. Untuk matriks ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ pada grup modular Γ, $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$.
3. Seperti yang ditunjukkan di atas, kondisi kedua menyiratkan bahwa $f$ adalah periodik, dan karenanya memiliki deret Fourier. Kondisi ketiga adalah bahwa deret ini berbentuk

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.$

Ini sering ditulis dalam istilah $q=\exp(2\pi iz)$ (the kuadrat dari nome), sebagai:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.$

Ini juga disebut sebagai ekspansi-q dari$f$. Koefisien $a_{n}$ dikenal sebagai koefisien Fourier dari $f$, dan bilangan $m$ disebut tingkat kutub $f$ di $i\infty$. Kondisi ini disebut "meromorfik di taring", artinya banyaknya bilangan bulat $n<0$ sedemikian sehingga $a_{n}\neq 0$adalah berhingga, sehingga ekspansi-q terbatas di bawah, dan ini mengakibatkan fungsi $f$ meromorfik pada $q=0$.

Cara lain untuk menyatakan definisi fungsi modular adalah dengan menggunakan kurva elips: setiap kisi Λ menentukan kurva elips C/Λ lebih C; dua kisi berpadanan dengan dua kurva elips yang isomorfik jika dan hanya jika salah satu kisi diperoleh dari kisi yang lain dengan mengalikan kisi tersebut oleh suatu bilangan kompleks bukan nol α. Dengan demikian, fungsi modular juga dapat dianggap sebagai fungsi meromorfik pada himpunan kelas isomorfisme kurva elips. Misalnya, invarian-j j(z) dari kurva elips, dianggap sebagai fungsi pada himpunan semua kurva elips, adalah fungsi modular. Lebih konseptual, fungsi modular dapat dianggap sebagai fungsi pada ruang moduli dari kelas isomorfisma kurva elips kompleks.

Bentuk modular f lenyap di q = 0 (dengan kata lain, a₀ = 0, atau lenyap di z = i∞) disebut bentuk taring (cusp form atau spitzenform dalam bahasa Jerman). Bilangan bulat positif n terkecil sedemikian sehingga a_n ≠ 0 adalah tingkat nol dari f di i∞.

Unit modular adalah fungsi modular yang kutub dan nolnya hanya ada di titik-titik taring.

Bentuk modular untuk grup yang lebih umum

Syarat persamaan fungsional dari f yang sehubungan dengan pemetaan $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ dapat diperingan dengan mengharuskan persamaan fungsi ini terpenuhi hanya untuk matriks dalam grup yang lebih kecil.

Permukaan Riemann G\H^∗

Misalkan G adalah subgrup dari SL (2, Z) yang memiliki indeks berhingga. Grup G beraksi pada H dengan cara yang sama seperti SL(2, Z). Ruang topologi hasil bagi G\H dapat ditampilkan sebagai ruang Hausdorff. Biasanya ruang ini tidak kompak, tetapi dapat dikompakkan dengan menambahkan sejumlah berhingga titik yang disebut katup (cusps). Ini adalah titik-titik di batas H, yaitu di Q∪{∞}, sedemikian rupa sehingga ada elemen parabolik dari G (matriks dengan teras ± 2) yang menetapkan titik. Ini menghasilkan ruang topologi yang kompak G\H^∗. Terlebih lagi, ruang ini dapat diberikan struktur permukaan Riemann, yang memungkinkan konsep fungsi holomorfik dan meromorfik didefinisikan pada ruang ini.

Salah satu contoh penting subgrup SL (2, Z) adalah subgrup kongruensi. Untuk setiap bilangan bulat positif N, berikut ini beberapa contoh subgrup kongruensi:

${\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}$

Untuk G = Γ₀(N) atau Γ(N), ruang G\H dan G\H^∗ masing-masing dilambangkan Y₀(N) dan X₀(N) dan Y(N), X(N).

Geometri dari G\H^∗ dapat dipahami dengan mempelajari domain fundamental untuk G, yaitu subhimpunan D ⊂ H sedemikian rupa sehingga D melalui setiap orbit dari aksi G pada H tepat satu kali dan penutupan D melalui semua orbit. Misalnya, genus dari G\H^∗ dapat dihitung.

Definisi

Bentuk modular untuk G dengan bobot k adalah fungsi pada H yang memenuhi persamaan fungsional di atas untuk semua matriks di G, yang holomorfik di H, dan di semua taring (cusp) dari G. Seperti sebelumnya, bentuk modular yang lenyap di semua taring dari grup G disebut bentuk taring (cusp form) untuk grup G. Ruang vektor kompleks dari bentuk modular dan bentuk taring untuk grup G masing-masing dilambangkan dengan M_k(G) dan S_k(G). Seperti sebelumnya, sfungsi meromorfik pada G\H^∗ disebut fungsi modular untuk G. Jika G = Γ₀(N), bentuk modular/taring dan fungsi modular untuk grup G disebut sebagai bentuk modular/taring dan fungsi modular tingkat N. Jika G = Γ(1) = SL(2, Z), ini sama dengan bentuk modular yang telah didefinisikan sebelumnya.

Konsekuensi

Teori pada permukaan Riemann dapat diterapkan pada G\H^∗ untuk memeroleh informasi lebih jauh mengenai bentuk modular dan fungsi modular. Sebagai contoh, ruang vektor M_k(G) dan S_k(G) berdimensi hingga, dan dimensi kedua ruang ini dapat dihitung dengan menggunakan teorema Riemann-Roch melalui geometri dari aksi-G pada H. Contohnya,

$\dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{lainnya}}\end{cases}}$

dengan $\lfloor \cdot \rfloor$ merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar/fungsi floor dan $k$ bernilai genap.

Fungsi modular membentuk lapangan fungsi pada permukaan Riemann, dan sehingga membentuk lapangan dengan derajat transendental satu (atas lapangan C). Jika fungsi modular f bukan fungsi 0, maka dapat ditunjukkan bahwa banyaknya nol dari fungsi f sama dengan banyaknya kutub dari fungsi f pada penutup (closure) dari daerah fundamental R_Γ. Lapangan fungsi modular tingkat N (N ≥ 1) dibangkitkan oleh fungsi j(z) dan j(Nz).

Bundel garis

Pencarian fungsi modular dapat dianalogikan dengan pencarian fungsi pada ruang proyektif P(V): dalam konteks ruang proyektif, idealnya fungsi F pada ruang vektor V merupakan polinomial dalam koordinat v ≠ 0 pada V dan memenuhi persamaan F(cv) = F(v) untuk semua c yang tidak nol. Sayangnya, fungsi polinomial dengan sifat demikian hanyalah fungsi konstanta. Jika kita memperbolehkan fungsi F memiliki penyebut yang juga merupakan polinomial, maka kesamaan tersebut dipenuhi oleh fungsi yang merupakan rasio dari dua polinomial homogen dengan derajat sama. Atau, fungsi F tetap dapat dimisalkan sebagai polinomial namun dengan syarat kebergantungan terhadap c yang lebih longgar, yaitu F(cv) = c^kF(v) untuk suatu nilai k. Solusi dari kesamaan tersebut adalah polinomial homogen berderajat k. Untuk setiap nilai k, fungsi-fungsi F yang memenuhi F(cv) = c^kF(v) membentuk ruang vektor berdimensi hingga. Di sisi lain, jika kita memisalkan fungsi F sebagai fungsi yang memenuhi F(cv) = c^kF(v) untuk suatu nilai k, pembilang dan penyebut yang digunakan untuk mengkonstruksi fungsi rasional yang merupakan fungsi pada ruang proyektif P(V) dapat dicari.

Mengingat polinomial homogen sebenarnya bukanlah fungsi pada P(V), wajar saja jika ada yang bertanya mengenai bagaimana cara menginterpretasikan fungsi polinomial homogen secara geometris. Dari geometri aljabar, polinomial homogen dapat dipandang sebagai sections dari sebuah sheaf (atau bisa juga bundel garis untuk kasus ini). Hal yang serupa juga berlaku untuk bentuk modular.

Penggunaan perspektif bentuk modular sebagai sections dari bundel garis pada ruang moduli dari kurva eliptik memiliki keuntungannya tersendiri.

Gelanggang bentuk modular

Artikel utama: Bentuk gelanggang modular

Untuk subgrup Γ dari SL(2, Z), gelanggang bentuk modular adalah gelanggang bertingkat yang dihasilkan oleh bentuk modular dari Γ. Dengan kata lain, jika M_k(Γ) adalah gelanggang bentuk modular dari bobot k, maka gelanggang bentuk modular dari Γ adalah gelanggang bertingkat $M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )$.

Gelanggang bentuk modular tingkat subgrup kongruensi dari SL(2, Z) dibangkitkan secara berhingga. Hal ini dibuktikan oleh Pierre Deligne dan Michael Rapoport. Jika subgrup kongruensi memiliki bentuk modular berbobot ganjil bukan nol, gelanggang bentuk modular dibangkitkan oleh bentuk modular dengan bobot paling besar 6 dan hubungan antara pembangkit memiliki bobot paling besar 12. Sebaliknya, jika semua bentuk modular berbobot ganjil tingkat subgrup kongruensi adalah 0, maka batas atas bobot pembangkit dan hubungan antara pembangkit adalah 5 dan 10.

Secara lebih umum, ada rumus untuk batas bobot pembangkit gelanggang bentuk modular dan hubungannya untuk sembarang grup Fuchsian.

Sejarah

Teori bentuk modular dikembangkan dalam empat periode: pertama dalam kaitannya dengan teori fungsi eliptik, pada paruh pertama abad kesembilan belas; kemudian oleh Felix Klein dan lainnya menjelang akhir abad kesembilan belas sebagai konsep bentuk automorfik dipahami (untuk satu variabel); kemudian oleh Erich Hecke dari sekitar tahun 1925; dan kemudian di tahun 1960-an, karena kebutuhan teori bilangan dan perumusan teorema modularitas secara khusus memperjelas bahwa bentuk-bentuk modular memiliki kaitan yang kuat dengan teori bilangan.

Istilah "bentuk modular", sebagai deskripsi sistematis, biasanya dikaitkan dengan Hecke.

Referensi

• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, 7, New York: Springer-Verlag . Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0 
• Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Princeton, N.J.: Princeton University Press . Provides a more advanced treatment.
• Gelbart, Stephen S. (1975), Automorphic forms on adèle groups, Annals of Mathematics Studies, 83, Princeton, N.J.: Princeton University Press, MR 0379375 . Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X 
• Ribet, K.; Stein, W., Lectures on Modular Forms and Hecke Operators (PDF) 
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht 
• Skoruppa, N. P.; Zagier, D. (1988), "Jacobi forms and a certain space of modular forms", Inventiones Mathematicae, Springer