Paravektor: Perbedaan antara revisi
k clean up, added orphan tag |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
Baris 317: | Baris 317: | ||
|} |
|} |
||
* Catatanː Istilah "Imajiner" digunakan dalam konteks pada aljabar dan tidak <math>C \ell_3</math>menyiratkan perkenalan bilangan kompleks standar sebagian perubahan. |
* Catatanː Istilah "Imajiner" digunakan dalam konteks pada aljabar dan tidak <math>C \ell_3</math>menyiratkan perkenalan [[bilangan kompleks]] standar sebagian perubahan. |
||
=== Subruang Tertutup terhadap Produk === |
=== Subruang Tertutup terhadap Produk === |
||
Baris 380: | Baris 380: | ||
dimana <math>j,k</math> menuju dari 1 hingga 3. |
dimana <math>j,k</math> menuju dari 1 hingga 3. |
||
Dalam [[aljabar ruang fisika]], medan elektromagnetik diekspresikan sebagai sebuah biparavektor sebagai |
Dalam [[aljabar ruang fisika]], [[medan elektromagnetik]] diekspresikan sebagai sebuah biparavektor sebagai |
||
: <math> |
: <math> |
||
Baris 561: | Baris 561: | ||
== Dimensi-Dimensi yang Lebih Tinggi == |
== Dimensi-Dimensi yang Lebih Tinggi == |
||
Sebuah ruang Euklidean <math>n</math> dimensi memberikan adanya multivektor pada nilai <math>n</math> (vektor ke-<math>n</math>). Dimensi pada ruang vektor ternyata sama dengan <math>n</math> dan analisis kombinatorial sederhana menunjukkan bahwa dimensi pada ruang bivektor adalah <math>{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}</math>. Secara umum, dimensi pada ruang multivektor pada nilai <math>m</math> adalah <math>\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}</math> dan dimensi pada seluruh aljabar Clifford <math>C \ell (n)</math> adalah <math>2^n</math>. |
Sebuah ruang Euklidean <math>n</math> dimensi memberikan adanya multivektor pada nilai <math>n</math> (vektor ke-<math>n</math>). Dimensi pada [[ruang vektor]] ternyata sama dengan <math>n</math> dan analisis kombinatorial sederhana menunjukkan bahwa dimensi pada ruang bivektor adalah <math>{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}</math>. Secara umum, dimensi pada ruang multivektor pada nilai <math>m</math> adalah <math>\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}</math> dan dimensi pada seluruh aljabar Clifford <math>C \ell (n)</math> adalah <math>2^n</math>. |
||
Diberikan multivektor dengan nilai homogen baik invarian atau mengubah tanda dibawah aksi pada konjugasi reversi <math>\dagger </math>. Elemen yang tetap invarian didefinisikan sebagai Hermitian dan yang mengubah tanda didefinisikan sebagai anti-Hermitian. Nilai-nilai bisa demikian juga diklasifikan sebagai berikutː |
Diberikan multivektor dengan nilai homogen baik invarian atau mengubah tanda dibawah aksi pada konjugasi reversi <math>\dagger </math>. Elemen yang tetap invarian didefinisikan sebagai Hermitian dan yang mengubah tanda didefinisikan sebagai anti-Hermitian. Nilai-nilai bisa demikian juga diklasifikan sebagai berikutː |
Revisi terkini sejak 27 Maret 2023 12.46
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini. Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala. Tag ini diberikan pada Desember 2022. |
Nama paravektor digunakan untuk penjumlahan pada sebuah skalar dan sebuah vektor dalam setiap aljabar Clifford (aljabar Clifford dikenal sebagai aljabar geometris dalam komunitas fisika.)
Nama ini diberikan oleh J. G. Maks, disertasi Doktoral, Techinsche Universiteit Delft (Belanda), 1989.
Aljabar lengkap ini pada paravektor bersama dengan generalisasi kelas yang lebih tinggi yang sesuai, semua dalam konteks pada ruang Euklidean pada tiga dimensi, adalah sebuah alterntif mendekati ke aljabar ruang waktu (dalam bahasa Inggrisː spacetime algebra, disingkat STA) ysng diperkenalkan oleh David Hestenes. Aljabar alternatif ini disebut aljabar ruang fisika (dalam bahasa Inggrisː algebra of physical space, disingkat APS).
Aksioma Fundamental
[sunting | sunting sumber]Untuk ruang Euklidean, aksioma fundamental menunjukkan bahwa produk pada sebuah vektor dengan diri sendiri adalah nilai skalar pada panjang kuadrat (positif)
Ditulis
- ,
dan memperkenalkan ini ke dalam ekspresi pada aksioma fundamental
kita mendapatkan ekpresi berikut setelah membandingkan dengan aksioma fundamental lagi
yang memungkinkan untuk menidentifikasikan produk skalar dengan dua vektor sebagai
Sebagai konsekuensi yang penting, kita adpat menyimpulkan bahwa dua vektor orthogoal (dengan nol produk skalar) antikomutatif
Ruang Euklidean Tiga Dimensi
[sunting | sunting sumber]Daftar-daftar berikut mewaklili sebuah contoh pada sebuah basis yang sempurna pada ruang
yang membentuk delapan runng dimensi, dimana inceks yang banyak menunjukkan produk pada vektor-vektor basis masing-masing, sebagai contoh
Nilai pada sebuah elemen basis didefinisikan dalam perubahan pada beragam vektor, seperti
Kelas | Tipe | Elemen dasar |
---|---|---|
0 | Skalar nyata kesatuan | |
1 | Vektor | |
2 | Bivektor | |
3 | Elemen Volume Trivektor |
Menurut aksioma fundamental, dua vektor basis berbeda bersifat antikomutatif,
atau dengan kata lain,
Ini berarti bahwa elemen volume kuadrat adalah
Bahkan, elemen volume menggantikan dengan setiap elemen lainnya pada aljabar , jadi bisa diidentifikasikan dengan bilangan kompleks , kapanpun tidak ada bahayanya pada kebingungan. Faktanya, Elemen volume sepanjang dengan skalar real membentuk sebuah aljabar isomorfik ke aljabar kompleks standar. Elemen volume bisa digunakan untuk menulis ulang sebuah perubahan ekuivalen ke basis sebagai
Kelas | Tipe | Elemen dasar / s |
---|---|---|
0 | Skalar real kesatuan | |
1 | Vektor | |
2 | Bivektor | |
3 | Elemen volume trivektor |
Paravektor
[sunting | sunting sumber]Basis paravektor menyesuaikan bahwa kombinasi sebuah skalar real dan vektor adalah
,
dimana basis tersebut tersebut membentuk sebuah linear empat dimensi. Ruang tersebut dalam ruang Euklidean tiga dimensi dapat digunakan untuk mewakili ruang-waktu pada relativitas khusus sebagai bentuk dalam aljabar ruang fisika.
Ini sangat mudah untuk menulis skalar unit sebagai , jadi bahwa basis yang lengkap bisa ditulis dalam sebuah perubahan padat sebagai
,
dimana huruf Yunani menuju dari hingga .
Antiautomorfisme
[sunting | sunting sumber]Konjugasi pembalikan
[sunting | sunting sumber]Pembalikan anitautomorfisme dilambangkan . Aksi pada konjugasi ini adalah untuk membalikkan urutan pada produk geometri (produk antara bilangan Clifford secara umum).
,
dimana vektor dan bilangan skalar real invarian dalam konjugasi pembalikan dan dikatakan nyata, sebagai contohː
Di sisi lain, trivektor dan biveektor mengubah tanda dibawah konjugasi pembalikan dan dikatakan imajiner yang murni. Konjugasi pembalikan diterapkan pada setiap elemen basis diberikan di bawah
Elemen | Konjugasi pembalikan |
---|---|
Konjugasi Clifford
[sunting | sunting sumber]Konjugasi Clifford dilambangkan oleh sebuah palang diatas objek . Konjugasi ini disebut konjugasi palang.
Konjugasi Clifford merupakan aksi kombinasi pada tingkat kerumitan dan pembalikan.
Aksi konjugasi Clifford pada sebuah paravektor adalah membalikkan tanda pada vektor, mempertahankan tanda pada bilangan skalar real, sebagai contoh
Ini karena kedua skalar dan vektor invarian ke pembalikan (tidak mungkin untuk membalikkan untuk urutan pada satu atau tidak sama sekali) dan skalar adalah urutan nol dan begitu juga dari vektor nilai genap dan juga melalui sebuah tanda mengubah nilai kerumitan.
Sebagai anti-automorfisme, konjugasi Clifford didistribusikan sebagai
Konjugasi palang diterapkan setiap elemen basis diberikan dibawah ini
Elemen | Konjugasi palang |
---|---|
- Catatanː Elemen volume adalah konstanta di bawah konjugasi
Nilai automorfisme
[sunting | sunting sumber]Nilai automorfisme pada didiefinisikan sebagai aksi gabungan pada keduanya konjugasi reversi dan konjugasi Clifford dan memiliki efek untuk membalikan tanda pada multivektor nilai ganjil, sambil mempertahankan multivektor invarian nilai genap
Elemen | Tingkat kerumitan |
---|---|
Subruang Invarian menurut Konjugasi
[sunting | sunting sumber]Keempat subruang spesial bisa didefinisikan dalam ruang berdasarkan simetrisnya dibawah reversi dan konjugasi Ckifford.
- Subruang Skalarː Invarian dibawah konjugasi Clifford.
- Subruang Vektorː Tanda kebalikan dibawah konjugasi Clifford.
- Subruang Realː Invarian dibawah kebalikan konjugasi.
- Subruang Imajinerː Membalikkan tanda dibawah kebalikan konjugasi.
Misalkan sebagai sebuah bliangan Clifford umum, skalar yang saling melengkapi dan bagian vektor pada diberikan oleh kombinasi simetris dan antisimetris dengan konjugasi Clifford.
.
Dengan cara yang sama, bagian Real dan Imajiner yang saling melengkapi diberikan oleh kombinasi simetris dan atisimetris dengan konjugasi Reversi.
.
Itumungkin untuk mendefinisikan keempat persimpangan, yang tercantum di bawah
Tabel dibawah ini meringkaskan nilai yang terhadap subruang, sebagai contoh, nilai 0 bisa dilihat sebagai persimpangan pada subruang Real dan Skalar
Real | Imajiner | |
---|---|---|
Skalar | 0 | 3 |
Vektor | 1 | 2 |
- Catatanː Istilah "Imajiner" digunakan dalam konteks pada aljabar dan tidak menyiratkan perkenalan bilangan kompleks standar sebagian perubahan.
Subruang Tertutup terhadap Produk
[sunting | sunting sumber]Terdapat dua subruang yang tertutup terhadap produk. Mereka adalah ruang skalar dan ruang genap yang dimana isomorfis dengan aljabar terkenal pada bilangan kompleks dan kuaternion.
- Ruang skalar dibuat dari nilai 0 dan 3 adalah isomorfis dengan aljabar standar pada bilangan kompleks dengan identifikasi pada
- Ruang genap, dibuat dari elemen pada nilai 0 dan 2, adalah isomorfis dengan aljabar pada kuaternion dengan identifikasi pada
Produk Skalar
[sunting | sunting sumber]Diberikan dua paravektor dan , secara umum produk skalar adalah
Besar kuadratnya pada sebuah paravektor adalah
dimana ini bukan sebuah perubahan bilinear tentu sama dengan nol bahan paravektor
Itu menunjukkan bahwa ruang paravektor secara otomatis mematuhi metrik pada ruang Minkowski karena
dan khususnya:
Biparavektor
[sunting | sunting sumber]Diberkan dua paravektor u dan , biparavektor didefinisikan sebagaiː
.
Basis biparavektor bisa ditulis sebagaiː
dimana memiliki enam elemen independen, termasuk istilah real dan imajiner. Ketiga elemen real (vektor) sebagai
dan ketifa elemen imajiner (bivektor) sebagai
dimana menuju dari 1 hingga 3.
Dalam aljabar ruang fisika, medan elektromagnetik diekspresikan sebagai sebuah biparavektor sebagai
dimana keduanya elektrik dan medan magnet adalah vektor real
dan mewakili elemen volume pseudoskalar.
Contoh lain pada biparavektor adalah mewakili pada tingkat rotasi ruang waktu bisa diekspresikan sebagai
dengan tiga variabel rotasi sudur biasa, yaitu dan tiga variabel kecepatan, yaitu
Triparavektor
[sunting | sunting sumber]Diberikan tiga paravektor , , dan , triparavektor didefinisikan sebagaiː
.
Basisi triparavektor bisa ditulis sebagaiː
tetapi hanya terdapat empat triparavektor independen, jadi bisa diturunkan ke
.
Pseudoskalar
[sunting | sunting sumber]Basis pseudoskalar adalah ,
namun sebuah kalkulasi mengungkapkan bahwa itu memiliki hanya sebuah istilah tunggal. Isilah tersebut adalah elemen volume .
Keempat nilai tersebut, diambil dari kombinasi pada pasangan tertentu menghasilkan ruang paravektor, biparavektor, dan triparavektor seperti yang ditunjukkan pada tabel berikutnya, dimana sebagai contoh, kita lihat bahwa paravektor terbuat dari nilai 0 dan 1
1 | 3 | |
---|---|---|
0 | Paravektor | Skalar / Pseudoskalar |
2 | Biparavektor | Triparavektor |
Paragradien
[sunting | sunting sumber]Operator paragradien adalah generalisasi pada operator gradien dalam ruang paravektor. Paragradien dalam basos paravektor standar adalah
yang ini dapat memungkinkan menulis operator d'Alembert sebagai
Operator gradien standar bisa didefinisikan secara alami sebagaiː
sehingga paragradien bisa ditulis sebagai
dimana .
Penerapan pada operator paragradien harus diselesaikan dengan hati-hati, selalu berkenaan dengan non-komutatif. Sebagai contoh, sebuah turunan banyak digunakan seperti
dimana adalah fungsi skalar pada koordinat.
Pararadien merupakan sebuah operator yang dimana selalu dimulai dari kiri jika fungsi adalah sebuah fungsi skalar. Namun, jika fungsi bukanlah skalar, paragradien bisa dimulai dari kanan sedemikian juga. Sebagai contoh, ekpersi berikut bisa diperpanjang sebagaiː
Paravektor Kosong sebagai Proyektor
[sunting | sunting sumber]Paravektor kosong adalah elemen yang tidk perlu nol tetapi memiliki identik ukurannya ke nol. Untuk sebuah paravektor nihil , properti ini perlu mengimplikasikan identitas berikut
Dalam konteks pada relativits khusus, mereka juga disebut paravektor ringan
Proyektor adalah paravektor nihil pada bentukː
dimana adalah vektor satuan.
Sebuah proyektor bentuk ini memiliki proyektor pelengkap
seperti yang
Sebagai proyektor, mereka idempoten
dan proyeksi dari satu dengan yang lain adalah nol karena mereka adalah proyektor kosong.
Vektor satuan berkaitan pada proyektor bisa diekstrasikan sebagai
Ini berarti bahwa adalah sebuah operator dengan fungsi eigen dan , dengan masing-masing nilai eigen dan .
Dari hasil sebelumnya, identitas berikut adalah asumsi yang sah bahwa analitik disekitar nol.
Ini memberikan asalnya ke properti pacwoman, sedemikian rupa sehingga identitas berikut terpenuhi
,
.
Basis Kosong pada Ruang Paravektor
[sunting | sunting sumber]Sebuah basis pada elemen-elemen, setiap satu dari mereka kosong, bisa dikosntruksi pada ruang yang sempurna. Basis yang penting adalah sebagai berikut.
sehingga sebuah paravektor sembarang
dapat ditulis sebagai
Pernyataan ini sangat berguna untuk beberapa sistem dimana secara alami diekspresikan dalam istilah pada variabel kerucut cahaya dimana koefisien pada dan masing-masing.
Setiap ekspresi dalam ruang paravektor bisa ditulis dalam istilah basis kosong. Sebuah paravektor secara umum diparameter oleh dua skalar bilangna real dan sebuah bilangan skalar umum (termasuk skalar dan bilangan pseudoskalar)
paragradien dalam basis kosong adalah
Dimensi-Dimensi yang Lebih Tinggi
[sunting | sunting sumber]Sebuah ruang Euklidean dimensi memberikan adanya multivektor pada nilai (vektor ke-). Dimensi pada ruang vektor ternyata sama dengan dan analisis kombinatorial sederhana menunjukkan bahwa dimensi pada ruang bivektor adalah . Secara umum, dimensi pada ruang multivektor pada nilai adalah dan dimensi pada seluruh aljabar Clifford adalah .
Diberikan multivektor dengan nilai homogen baik invarian atau mengubah tanda dibawah aksi pada konjugasi reversi . Elemen yang tetap invarian didefinisikan sebagai Hermitian dan yang mengubah tanda didefinisikan sebagai anti-Hermitian. Nilai-nilai bisa demikian juga diklasifikan sebagai berikutː
Nilai | Klasifikasi |
---|---|
Hermitian | |
Hermitian | |
Anti-Hermitian | |
Anti-Hermitian | |
Hermitian | |
Hermitian | |
Anti-Hermitian | |
Anti-Hermitian | |
Representasi Matriks
[sunting | sunting sumber]Aljabar pada ruang isomorfik ke aljabar matriks Pauli seperti
Pernyataan Matriks 3D | Matriks eksplisit | |
---|---|---|
dari basis kosong menjadiː
Sebuah bliangan Clifford secara umum dalam 3D bisa diulis sebagai
dimana koefisien adalah elemen-elemen skalar (termasuk pseudoskalar). Indeksnya dipilih sehingga pernyataan pada bulangan Clifford dalam istilah pada matriks Pauli adalah
Konjugasi
[sunting | sunting sumber]Konjugasi reversi diterjemahkan menjadi konjugasi Hermitian dan konjugasi palang diterjemahkan menjadi matriks berikut.
, sedemikian rupa sehingga bgian skalar diterjemahkan sebagai
Subruang sisanya diterjemakan sebagai
Dimensi yang Lebih Tinggi
[sunting | sunting sumber]Perwakilan matriks pada sebuah ruang Euklidean dalam dimensi yang lebih tinggi bisa dikonstruksikan dalam istilah produk Kronecker pada matriks Pauli, menghasilkan dalam matriks kompleks pada dimensi
Perwakilan Matriks 4D | |
---|---|
Perwaklian 7D bisa
Perwakilan Matriks 7D | |
---|---|
Aljabar Lie
[sunting | sunting sumber]Aljabar Clifford bisa digunakan untuk mewakili setiap aljabar Lie klasik. Secara umum, itu mungkin untuk mengidentifikasikan aljabar Lie pada grup kompak dengan menggunakan elemen anti-Hermitian, dimana bisa meluas ke non-grup kompak dengan menambahkan elemen Hermitian.
Bivektor pada sebuah ruang Euklidean -dimensi merupakan elemen Herimtian dan bisa digunakan untuk mewakili aljabar Lie .
Bivektor pada ruang Euklidean tiga dimensi membentuk aljabar Lie , yang isomorfik ke aljabar Lie . Kebetulan isomorfik ini memungkinkan ke gambar sebuah penafsiran geometrik pada pernyataan pada ruang Hilbert dua dimensi dengan mengguakan bola Bloch. Salah satu dari sistem itu berputar ½ partikel.
Aljabar Lie bisa diperpanjang dengan menambahkan tiga vektor kesatuan untuk membentuk sebuah aljabar Lie ke aljabar Lie , yang merupakan penutup ganda pada grup Lorentz . Isomorfis ini memungkinkan kemungkinan untuk berkembang sebuah formalism pada relativitas khusus berdasarkan , yang dilakukan dalam bentuk pada aljabar ruang fisika.
Hanya ada satu isomorfis kebetulan tambahan antara sebuah spin aljabar Lie dan sebuah aljabar Lie . Ini adalah isomorfis antara dan .
Isomorfis menarik lainnya ada antara dan . Jadi, aljabar Lie bisa digunakan untuk menghasilkan grup . Meskipun bahwa grup ini lebih kecil daripada grup , itu terlihat cukup untuk menjangkau ruang Hilbert empat dimensi.
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Referensi
[sunting | sunting sumber]Buku Teks
[sunting | sunting sumber]- Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
- Baylis, William, Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhauser (1999)
- [H1999] David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)
- Chris Doran and Antony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge, 2003
Artikel
[sunting | sunting sumber]- Baylis, W E (2004-11-01). "Relativity in introductory physics". Canadian Journal of Physics. Canadian Science Publishing. 82 (11): 853–873. arXiv:physics/0406158
. doi:10.1139/p04-058. ISSN 0008-4204.
- Doran, C.; Hestenes, D.; Sommen, F.; Van Acker, N. (1993). "Lie groups as spin groups". Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing. 34 (8): 3642–3669. doi:10.1063/1.530050. ISSN 0022-2488.
- Cabrera, R.; Rangan, C.; Baylis, W. E. (2007-09-04). "Sufficient condition for the coherent control of n-qubit systems". Physical Review A. American Physical Society (APS). 76 (3): 033401. arXiv:quant-ph/0703220
. doi:10.1103/physreva.76.033401. ISSN 1050-2947.
- Vaz, Jayme; Mann, Stephen (2018). "Paravectors and the Geometry of 3D Euclidean Space". Advances in Applied Clifford Algebras. Springer Science and Business Media LLC. 28 (5): 99. arXiv:1810.09389
. doi:10.1007/s00006-018-0916-1. ISSN 0188-7009.