Nilai absolut

Grafik fungsi y=|x|, dengan x bilangan real.

Dalam matematika, nilai absolut (juga dikenal dengan nilai mutlak atau modulus) dari suatu bilangan real $x$, ditulis sebagai $|x|$, adalah nilai dari $x$ tanpa disertai tanda. Dengan kata lain, $|x|=x$ jika $x$ adalah bilangan positif atau nol dan $|x|=-x$ jika $x$ adalah bilangan negatif (sehingga $-x$ bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari $3$ adalah $|3|=3$, dan nilai mutlak dari $-3$ juga adalah $|-3|=-(-3)=3$. Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai jarak suatu bilangan dari bilangan $0$.

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan real muncul pada banyak objek matematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan pada bilangan kompleks, kuartenion, gelanggang terurut, lapangan, dan ruang vektor. Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisi besaran, jarak, dan norma dalam banyak konteks di fisika dan matematika.

Terminologi dan penulisan

Pada tahun 1806, Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah module, yang berarti satuan pengukuran dalam bahasa Prancis, khususnya untuk nilai mutlak bilangan kompleks, dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagai modulus. Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di Prancis dan 1857 di Inggris. Penulisan $|x|$, dengan simbol garis vertikal di kedua sisi, diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan pada himpunan, itu menandakan kardinalitasnya; jika digunakan pada matriks, itu menandakan determinannya. Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memiliki definisi nilai mutlak, seperti bilangan real, bilangan kompleks, atau kuaternion. Penulisan yang mirip namun berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuk norma Euklidean atau sup norm di $\mathbb {R} ^{n}$, walau penulisan garis vertikal ganda ($||\cdot ||_{2}$ dan $||\cdot ||_{\infty }$) lebih umum dan tidak ambigu.

Definisi dan sifat

Bilangan real

Untuk setiap bilangan real $x$, nilai mutlak dinyatakan dengan $|x|$ ($x$ diapit oleh garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:

$|x|={\begin{cases}x,&{\mbox{jika }}x\geq 0,\\-x,&{\mbox{jika }}x<0.\end{cases}}$

Dari definisi tersebut, nilai mutlak $x$ akan selalu bernilai positif atau nol, tetapi tidak pernah negatif. Jika $x$ bernilai negatif ($x<0$) maka nilai mutlaknya pasti positif ($|x|=-x>0$).

Dari sudut pandang geometri analitik, nilai mutlak dari sebuah bilangan real adalah jarak bilangan tersebut dari bilangan 0 pada garis bilangan real. Lebih umum lagi, nilai mutlak dari selisih dua bilangan real adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Definisi fungsi jarak dalam matematika dapat dianggap sebagai perumuman dari nilai mutlak (lihat "Jarak" dibawah).

Definisi lain dari nilai mutlak adalah

$|x|={\sqrt {x^{2}}}$

$|x|^{2}=x^{2}$

karena akar kuadrat dari sebuah bilangan positif bernilai tunggal.

Nilai mutlak memiliki empat sifat dasar berikut (dengan a dan b adalah bilangan real), yang digunakan dalam perumuman definisi ini ke objek-objek lain:

$|a|\geq 0$	Non-negatif
$|a|=0\iff a=0$	Positive-definiteness
$|ab|=|a|\,|b|$	Multiplikatif
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Subadditivity, khususnya pertidaksamaan segitiga

Sifat nonnegatif, definit positif, dan multiplikatif terlihat jelas dari definisi. Untuk membuktikan sifat pertidaksamaan segitiga berlaku, perhatikan bahwa $s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0$ bernilai benar untuk $s=-1$ atau $s=1$. Namun, karena $-1\cdot x\leq |x|$ dan $1\cdot x\leq |x|$, mengakibatkan apapun nilai $s$ yang dipilih, akan berlaku $s\cdot x\leq |x|$ untuk setiap bilangan real $x$. Akibatnya, $|a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|$, sesuai dengan yang diharapkan. (Untuk perumuman bukti ini di bilangan kompleks, lihat "Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks" dibawah.)

Berikut adalah beberapa sifat nilai mutlak lainnya yang berguna. Sifat-sifat berikut adalah konsekuensi langsung dari definisi atau tersirat dari empat sifat dasar diatas.

${\big |}\,|a|\,{\big |}=|a|$	Idempoten (Nilai mutlak dari nilai mutlak adalah nilai mutlak)
$|-a|=|a|$	Fungsi genap (simetri terhadap pencerminan sumbu-y)
$|a-b|=0\iff a=b$	Identity of indiscernibles (setara dengan positive-definiteness)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	Pertidaksamaan segitiga (setara dengan subadditivity)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (jika $b\neq 0$)	Berlakunya sifat permbagian (setara dengan multiplikatif)
$|a-b|\geq {\big |}\,|a|-|b|\,{\big |}$	Reverse triangle inequality (setara dengan subadditivity)

Dua sifat lain yang berguna terkait pertidaksamaan adalah:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ atau $a\geq b$

Hubungan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sebagai contoh:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

Bilangan kompleks

Nilai mutlak pada bilangan kompleks $z$ adalah jarak $r$ dari $z$ ke titik nol. Dari gambar juga terlihat bahwa konjugat kompleks ${\bar {z}}$ juga memiliki nilai mutlak yang sama.

Karena bilangan kompleks tidak terurut, definisi yang digunakan pada bilangan real tidak dapat digunakan secara langsung pada bilangan kompleks. Namun, intepretasi geometris nilai mutlak real sebagai jarak bilangan dari bilangan 0 dapat diperumum. Nilai mutlak dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak Euklidean bilangan tersebut dengan titik asal di bidang kompleks. Hal ini dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: untuk setiap bilangan kompleks

$z=x+iy,$

dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan real, nilai mutlak atau modulus dari $z$ yang diwakili sebagai $|z|$, didefinisikan sebagai

$|z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

dengan $\mathrm {Re} (z)=x$ dan $\mathrm {Im} (z)=y$ masing-masing menyatakan bagian real dan imajiner dari $z$. Ketika bagian imajiner bernilai nol, definisi ini sama dengan definisi nilai mutlak untuk bilangan real $x$.

Ketika bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk polar sebagai

$z=re^{i\theta },$

dengan $r={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}\geq 0$ dan $\theta \in \operatorname {Arg} (z)$ adalah argumen (atau fase) dari $z$, nilai mutlaknya adalah

$|z|=r$.

Karena sebarang bilangan kompleks z dan konjugat kompleksnya ${\bar {z}}=x-iy$ memiliki nilai mutlak yang sama, dan berupa bilangan real non-negatif $(x^{2}+y^{2})$, nilai mutlak dari bilangan kompleks $z$ juga dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari $z\cdot {\overline {z}},$ yakni:

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$

Definisi ini memperumum definisi alternatif pada bilangan real: $|x|={\sqrt {x\cdot x}}.$

Nilai mutlak bilangan kompleks juga memenuhi empat sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diatas.

Dalam bahasa teori grup, sifat multiplikatif dapat dinyatakan sebagai berikut: nilai mutlak adalah sebuah homomorfisme grup dari grup multiplikatif bilangan kompleks ke suatu grup atas perkalian bilangan real.

Hal yang penting adalah sifat subadditivy ("pertidaksamaan segitiga") dapat diperumum ke n bilangan kompleks $(z_{k})_{k=1}^{n}$sebagai

Importantly, the property of subadditivity ("triangle inequality") extends to any finite collection of n complex numbers ${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$ as

${\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad (*)$

Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks

Sifat pertidaksamaan segitiga, yang dituliskan dalam persamaan $(*)$, dapat ditunjukkan dengan menggunakan tiga sifat dasar dari bilangan kompleks: yakni, untuk setiap bilangan kompleks $z\in \mathbb {C}$,

(i): Terdapat $c\in \mathbb {C}$ dengan $|c|=1$ dan $|z|=c\cdot z$;

(ii): $\mathrm {Re} (z)\leq |z|$.

Dan, untuk himpunan bilangan kompleks $(w_{k})_{k=1}^{n}$, berlaku ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\mathrm {Im} (w_{k})}$. Secara khusus,

(iii): Jika ${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$, maka ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})}$.

Bukti untuk $(*)$: Pilih $c\in \mathbb {C}$ dengan $|c|=1$ dan ${\textstyle {\big |}\sum _{k}z_{k}{\big |}=c{\big (}\sum _{k}z_{k}{\big )}}$ (penjumlahan untuk $k=1,\ldots ,n$). pertidaksamaan dapat ditunjukkan dengan:

${\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\overset {(i)}{=}}\;c{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(iii)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(ii)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|$.

Dari bukti tersebut terlihat bahwa kesamaan pada pertidaksamaan $(*)$ berlaku jika semua $cz_{k}$ adalah bilangan real non-negatif; yang selanjutnya berlaku jika semua $z_{k}$ yang bukan nol, memiliki argumen yang sama, maksudnya, $z_{k}=a_{k}\zeta$ untuk suatu konstanta kompleks $\zeta$ dan bilangan real $a_{k}\geq 0$ untuk $1\leq k\leq n$.

Fungsi nilai mutlak

Grafik dari fungsi nilai mutlak untuk bilangan real.

Composition of absolute value with a cubic function in different orders

Fungsi nilai mutlak bilangan real bersifat kontinu dimanapun. Fungsi ini juga terturunkan dimanapun kecuali di $x=0$. Fungsi ini monoton turun pada selang $(-\infty ,\,0]$, dan monoton naik pada selang $[0,\,\infty )$. Karena bilangan real dan lawannya memiliki nilai mutlak yang sama, fungsi ini juga merupakan fungsi genap sehingga tidak memiliki invers. Fungsi nilai mutlak adalah fungsi konveks dan fungsi linear bagian-demi-bagian.

Fungsi nilai mutlak untuk bilangan real dan kompleks bersifat idempoten.

Hubungan dengan fungsi tanda

Nilai dari fungsi nilai mutlak tidak bergantung pada tanda bilangan, sedangkan fungsi tanda menghasilkan tanda dari bilangan dan tidak bergantung pada nilai bilangan tersebut. Hubungan antara kedua fungsi ini adalah:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

atau

$|x|\operatorname {sgn}(x)=x,$

dan untuk x ≠ 0,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Turunan

Fungsi nilai mutlak memiliki turunan pada $x\neq 0$ dan tidak dapat diturunkan pada $x=0$. Turunannya untuk $x\neq 0$ adalah fungsi tangga yang didefinisikan sebagai berikut:

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x>0.\end{cases}}$

Fungsi nilai mutlak adalah contoh fungsi kontinu yang memiliki titik minimum global, namun tidak memiliki turunan pada titik tersebut.

Fungsi nilai mutlak bilangan kompleks kontinu dimanapun, tetapi tidak terturunkan secara kompleks dimanapun, karena tidak memenuhi persamaan Cauchy–Riemann.

Turunan kedua dari $|x|$ terhadap $x$ bernilai 0 dimanapun kecuali di $x=0$ (karena tidak memiliki turunan).

Antiturunan

Antiturunan (integral tak tentu) dari fungsi nilai mutlak real adalah

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,$

dengan $C$ adalah sebarang konstanta integrasi. Akan tetapi, fungsi ini bukanlah integral kompleks tak tentu dari fungsi nilai mutlak, karena integral kompleks hanya terdefinisi untuk fungsi yang terturunkan secara kompleks (fungsi holomorfis); yang tidak dipenuhi oleh fungsi nilai mutlak kompleks.

Jarak

Lihat pula: Ruang metrik

Nilai mutlak berhubungan erat dengan konsep jarak. Seperti yang disampaikan di atas, nilai mutlak dari bilangan real maupun kompleks adalah jarak dari bilangan tersebut ke titik nol; pada garis bilangan real untuk bilangan real, dan pada bidang kompleks untuk bilangan kompleks. Secara lebih umum, nilai mutlak dari selisih dua bilangan real atau kompleks adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Jarak Euklides antara titik $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ dan titik $b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ dalam ruang Euklides dimensi-n didefinisikan sebagai:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Hal ini dapat dianggap sebagai perumuman, karena untuk bilangan real $a_{1}$ dan $b_{1}$(yakni di ruang dimensi-1), menurut definisi alternatif dari nilai mutlak berlaku

$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$

dan untuk bilangan kompleks $a=a_{1}+ia_{2}$ dan $b=b_{1}+ib_{2}$ (yakni di ruang dimensi-2):

$|a-b|$	$=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|$
	$=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|$
	$={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Keadaan di atas menunjukkan jarak "nilai mutlak", untuk bilangan real dan kompleks, sesuai dengan definisi jarak Euklides standar; yang mereka "warisi" ketika mengganggap mereka sebagai ruang Euklides dimensi satu dan dimensi dua.

Sifat dari nilai mutlak dari selisih dua bilangan: non-negatif, identity of indiscernibles, simetri, dan pertidaksamaan segitiga pada bahasan sebelumnya, digunakan untuk mendefinisikan fungsi jarak yang lebih umum:

Fungsi bernilai real $d$ pada himpunan $X\times X$ disebut sebuah metrik (atau fungsi jarak) pada $X$, jika fungsi tersebut memenuhi empat aksioma berikut:

$d(a,b)\geq 0$	Non-negatif
$d(a,b)=0\iff a=b$	Identity of indiscernibles
$d(a,b)=d(b,a)$	Simetri
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	pertidaksamaan segitiga

Perumuman

Gelanggang terurut

Definisi nilai mutlak untuk suatu bilangan real dapat diperumum untuk sebarang gelanggang terurut. Dengan demikian, jika $a$ adalah elemen dari gelanggang terurut $R$, maka nilai mutlak dari $a$, yang ditulis sebagai $|a|$, didefinisikan sebagai:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{jika }}a\geq 0\\-a,&{\text{jika }}a<0.\end{array}}\right.$

dengan $-a$ adalah invers penjumlahan dari $a$, 0 adalah identitas penjumlahan, dan $<$ dan $\geq$ memiliki sifat yang sesuai dengan pengurutan yang ada di gelanggang tersebut.

Lapangan

Keempat sifat dasar dari nilai mutlak untuk bilangan real dapat digeneralisasikan untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang lapangan.

Misalkan $F$ lapangan. Suatu fungsi $v:F\rightarrow \mathbb {R}$ dikatakan nilai mutlak (disebut juga modulus, nilai, atau valuasi) jika memenuhi keempat aksioma berikut:

$v(a)\geq 0$	Nonnegatif
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Definit positif
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplikatif
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Pertidaksamaan segitiga

Di sini $\mathbf {0}$ menyatakan elemen identitas penjumlahan lapangan $F$. Aksioma positif definit dan sifat multiplikatif mengakibatkan $v(\mathbf {1} )=1$, dengan $\mathbf {1}$ adalah elemen identitas perkalian lapangan $F$. Nilai mutlak pada bilangan real dan bilangan kompleks yang didefinisikan di atas merupakan contoh dari nilai mutlak pada sembarang lapangan.

Jika $v$ adalah nilai mutlak pada lapangan $F$, fungsi $d:F\times F\rightarrow \mathbb {R}$ yang didefinisikan sebagai $d(a,b)=v(a-b)$ merupakan metrik dan berikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen mengenai fungsi $v$ dan $d$:

• $d$ memenuhi pertidaksamaan ultrametrik $d(x,y)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$ untuk setiap $x,y,z\in F$.
• $\left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}$ adalah subhimpunan terbatas dari $\mathbb {R}$.
• $v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right)\leq 1$ untuk sembarang bilangan asli $n$.
• $v(a)\leq 1\implies v(1+a)\leq 1$ untuk sembarang $a\in F$.
• $v(a+b)\leq \max(v(a),v(b))$ untuk setiap $a,b\in F$

Nilai mutlak yang memenuhi salah satu kondisi di atas, yang berarti juga memenuhi semua kondisi lain di atas, disebut sebagai nilai mutlak nonArchimedes. Sebaliknya, nilai mutlak yang tidak memenuhi salah satu kondisi di atas disebut sebagai nilai mutlak Archimedes.

Ruang Vektor

Lihat pula: Norma (matematika)

Sifat-sifat nilai mutlak untuk bilangan real dapat dikembangkan dengan sedikit modifikasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang ruang vektor.

Fungsi bernilai real pada ruang vektor $V$ atas lapangan $F$, dituliskan sebagai $\|\cdot \|$, disebut nilai mutlak, atau lebih umum disebut norma, jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Untuk setiap $k\in F$, $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in F$,

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	Nonnegatif
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	Definit positif
$\|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|$	Homogenitas positif
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	Pertidaksamaan segitiga

Norma vektor juga disebut panjang vektor.

Dalam kasus Ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$, fungsi yang didefinisikan sebagai

$\|(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$

merupakan norma yang disebut norma Euklides. Jika himpunan bilangan real $\mathbb {R}$ dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu $\mathbb {R} ^{1}$, nilai mutllak dapat dipandang sebagai norma. Tidak hanya itu, nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma "unik" pada ruang vektor $\mathbb {R} ^{1}$, dalam artian sembarang norma pada $\|\cdot \|$ pada $\mathbb {R} ^{1}$ dapat dilihat sebagai $\|x\|=\|1\|\cdot |x|$.

Nilai mutlak pada bilangan kompleks merupakan salah satu contoh norma pada ruang hasil kali dalam, yang identik dengan norma Euklides dengan meninjau bidang kompleks sebagai bidang Euklides $\mathbb {R} ^{2}.$

Aljabar komposisi

Setiap aljabar komposisi $A$ memiliki involusi $x\mapsto x^{*}$, dengan $x^{*}$ adalah konjugasi dari $x$. Hasil kali di dalam aljabar komposisi $A$ dari elemen $x$ dengan konjugatnya $x^{*}$ dituliskan sebagai $N(x)=xx^{*}$ dan disebut norma dari $x$.

Himpunan bilangan real $\mathbb {R}$, bilangan kompleks $\mathbb {C}$, dan kuarternion $\mathbb {H}$ adalah aljabar komposisi dengan norma yang diberikan bentuk definit kuadratik. Nilai mutlak di semua aljabar pembagian ini adalah akar kuadrat dari norma di aljabar komposisi.

Secara umum, norma dari aljabar komposisi dapat berupa bentuk kuadrat yang bukan definit dan memiliki vektor null. Akan tetapi, sebagaimana umumnya pada aljabar pembagian, jika elemen $x$ memiliki norm tidak nol, maka $x$ memiliki elemen invers terhadap perkalian, yaitu $x^{*}/N(x)$.

Daftar pustaka

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.