Deret ukur

Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... adalah mendekati 2.

Deret ukur dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

$ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,$

dimana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

$a_{n}=a\,r^{n-1}$

Jumlah semua suku:

$\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}$ untuk r > 1, dan

$\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ untuk r < 1.

untuk pembuktian:

Suku ke-n

$a_{1}=a$

$a_{2}=a\,r^{1}$

$a_{3}=a\,r^{2}$

....

$a_{n}=a\,r^{n-1}$

jadi jumlah suku ke-n adalah $a_{n}=a\,r^{n-1}$

Jumlah suku ke-n

$s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}$ dikalikan dengan r .... (1)

$s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}$ ... (2)

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

$s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}$

$s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}$

$s_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$