Kombinasi

Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.

Definisi

Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

$C\subseteq S$

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

• tidak ada buah apa pun
• satu buah:
  • apel
  • jeruk
  • mangga
  • pisang
• dua buah:
  • apel, jeruk
  • apel, mangga
  • apel, pisang
  • jeruk, mangga
  • jeruk, pisang
  • mangga, pisang
• tiga buah:
  • apel, jeruk, mangga
  • apel, jeruk, pisang
  • apel, mangga, pisang
  • jeruk, mangga, pisang
• empat buah:
  • apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

$C_{r}^{n}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Fungsi $C_{r}^{n}$ dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi ${n \choose r}$.

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

$C_{3}^{4}={\frac {4!}{3!(4-3)!}}=4$

Sifat rekursif dari Kombinasi

Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

$C_{r}^{n}=C_{r-1}^{n-1}+C_{r}^{n-1}$

Hubungan dengan Permutasi

Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:

apel jeruk mangga	apel mangga jeruk	jeruk apel mangga	jeruk mangga apel	mangga apel jeruk	mangga jeruk apel
apel jeruk pisang	apel pisang jeruk	jeruk apel pisang	jeruk pisang apel	pisang apel jeruk	pisang jeruk apel
apel mangga pisang	apel pisang mangga	mangga apel pisang	mangga pisang apel	pisang apel mangga	pisang mangga apel
jeruk mangga pisang	jeruk pisang mangga	mangga jeruk pisang	mangga pisang jeruk	pisang jeruk mangga	pisang mangga jeruk

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:

• apel, jeruk, mangga
• apel, jeruk, pisang
• apel, mangga, pisang
• jeruk, mangga, pisang

Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan $P_{3}^{4}$ atau 24 permutasi, dengan $3!$ kolom, karena untuk setiap baris terdapat $3!$ permutasi dari kolom pertama. Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

${\frac {P_{3}^{4}}{3!}}$

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

$C_{r}^{n}={\frac {P_{r}^{n}}{r!}}$

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

$C_{r}^{n}={\frac {P_{r}^{n}}{r!}}$

$={\frac {\frac {n!}{(n-r)!}}{r!}}$

$={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik

Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik. Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:

Kombinasi	apel	jeruk	mangga	pisang
apel, jeruk, mangga	1	1	1	0
apel, jeruk, pisang	1	1	0	1
apel, mangga, pisang	1	0	1	1
jeruk, mangga, pisang	0	1	1	1

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

${\frac {4!}{3!}}=4$

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

${\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung $C_{r}^{n}$.

Koefisien Binomial

Suatu binomial $(a+b)^{n}$ yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

${n \choose r}={\mbox{koefisien }}a^{r}b^{n-r}$

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:

1. $(a+b)^{0}=1a^{0}b^{0}$
2. $(a+b)^{1}=1a^{1}b^{0}+1a^{0}b^{1}$
3. $(a+b)^{2}=1a^{2}b^{0}+2a^{1}b^{1}+1a^{0}b^{2}$
4. $(a+b)^{3}=1a^{3}b^{0}+3a^{2}b^{1}+3a^{1}b^{2}+1a^{0}b^{3}$
5. $(a+b)^{4}=1a^{4}b^{0}+4a^{3}b^{1}+6a^{2}b^{2}+4a^{1}b^{3}+1a^{0}b^{4}$
6. $(a+b)^{5}=1a^{5}b^{0}+5a^{4}b^{1}+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5a^{1}b^{4}+1a^{0}b^{5}$
7. $(a+b)^{6}=1a^{6}b^{0}+6a^{5}b^{1}+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6a^{1}b^{5}+1a^{0}b^{6}$

Segitiga Pascal

Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:

1. $(a+b)^{0}=1a^{0}b^{0}\rightarrow 1$
2. $(a+b)^{1}=1a^{1}b^{0}+1a^{0}b^{1}\rightarrow 1,1$
3. $(a+b)^{2}=1a^{2}b^{0}+2a^{1}b^{1}+1a^{0}b^{2}\rightarrow 1,2,1$
4. $(a+b)^{3}=1a^{3}b^{0}+3a^{2}b^{1}+3a^{1}b^{2}+1a^{0}b^{3}\rightarrow 1,3,3,1$

Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal.

         1
        1  1
       1  2  1
      1  3  3  1
     1  4  6  4  1
    1  5 10 10  5  1
   1  6 15 20 15  6  1
  1  7 21 35 35 21  7  1
 1  8 28 56 70 56 28  8  1

Membangkitkan Kombinasi

Fungsi Pembangkit Kombinasi

Jika diberikan fungsi:

$f(S)=\prod _{s\in S}^{}(x+s)$

dapat digunakan untuk membangkitkan kombinasi dari himpunan S. Sebagai contoh, jika $S=\{a,b,c\}$:

$f(\{a,b,c\})=\prod _{s\in \{a,b,c\}}^{}(x+s)$

$=(x+a)(x+b)(x+c)$

$=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+ac+bc)x+abc$

Menggunakan fungsi pembangkit ini, setiap koefisien $x^{k}$ akan menunjukkan kombinasi k dari himpunan S (berupa perkalian). Jika yang diinginkan bukan daftar kombinasinya melainkan banyaknya kombinasi, maka dapat digunakan $a=b=c=1$. Sehingga:

$f(S)=(x+1)(x+1)(x+1)$

$=(x+1)^{3}$

$=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

Fungsi pembangkit untuk banyaknya kombinasi juga dapat dinyatakan sebagai:

$f(n)=(x+1)^{n}$

Yang merupakan bentuk binomial, dengan koefisien $x^{k}$ akan menunjukkan $C_{k}^{n}$.

Lihat Juga

• Faktorial
• Kombinasi dan Permutasi
• Permutasi
• Kombinadik
• Membangkitkan Kombinasi