Transformasi Galileo

Transformasi Galilei dapat dipahami dalam pembahasan gerak. Berdasarkan teori relativitas khusus , transformasi Galileo hanya berlaku untuk kecepatan yang relatif rendah, jauh lebih lambat dibanding kecepatan cahaya. Namun setelah kita memasukkan postulat ketiga dalam redefinisi relativitas, bisa dibuktikan bahwa transformasi Galileo adalah transformasi inersia dan berlaku umum untuk semua kecepatan pengamat.

Peristiwa dan Koordinat

Gerak dapat dikatakan bersifat relatif. Relativitas yang terjadi dalam gerak ini dapat ditinjau dari konsep kejadian, pengamat, dan kerangka acuan. Kejadian adalah suatu peristiwa fisika yang terjadi dalam suatu ruang pada suatu waktu sesaat yang tertentu. Contoh kejadian adalah: kilat di langit, tumbukkan antara dua mobil, dan sebagainya. Seseorang yang mengamati suatu kejadian dan melakukan pengukuran , misalnya pengukuran koordinat dan waktu disebut pengamat. Untuk menentukan letak sebuah titik dalam ruang kita memerlukan suatu sistem koordinat atau kerangka acuan. Misalnya, untuk menyatakan buah sebelum jatuh dari pohonnya, seorang pengamat memerlukan suatu kerangka acuan dengan koordinat (x, y, z). Jadi, kerangka acuan adalah suatu sistem koordinat.

Bagi seorang pengamat, suatu peristiwa dicirikan dengan menetapkan empat koordinatnya : tiga koordinat kedudukan (x, y, z) yang menyatakan jaraknya ke titik asal sebuah sistem koordinat tempat pengamat benda, dan koordinat waktu (t) yang dicatat pengamat dengan jamnya.

Konsep Titik Materi dalam Dimensi Ruang dan Waktu

Dalam konteks makrokosmos dan mikrokosmos, koordinat ruang dan waktu ditentukan oleh koordinat ruang dan koordinat waktu. Jika P dan P’ adalah suatu titik materi dalam dimensi ruang dan waktu, maka P dan P’ akan berada dalam koordinat yang sama persis, hanya dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri. Karena jika P adalah materi yang berbeda dengan P’, maka dalam waktu yang sama akan selalu ada jarak antara P dengan P’ sedemikian hingga jarak P-P’ > 0 satuan jarak. Dengan demikian dalam titik original 0, jika materi P mewakili titik original dan P’ juga mewakili titik original yang sama dalam koordinat ruang dan waktu, hanya mungkin terjadi jika dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri.

Dalam konsep ini, titik materi P bisa memiliki jarak dengan P’ (materi yang sama dengan P), jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu P-P’ ≠ 0. Materi P akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak.

Demikian juga dengan titik materi O (x,y,z), hanya mungkin menempati ruang dan waktu yang sama dengan titik materi O’(x’,y’,z’), jika dan hanya jika O adalah O’ itu sendiri. Dalam konsep ini, materi O akan memiliki jarak dengan O’, jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu O-O’ ≠ 0. Materi O akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak.

Jika koordinat ruang diwakili oleh koordinat x, y dan z, maka titik temu dalam koordinat ruang dan waktu selain harus memiliki nilai x, y dan z yang sama, juga harus berada dalam waktu yang sama. Begitu juga dengan titik mula kejadian dalam ruang dan waktu, hanya akan valid jika dan hanya jika dimulai dari koordinat ruang yang sama dan dalam waktu yang sama. Dengan kata lain, titik temu dan titik mula kejadian adalah suatu titik dalam koordinat ruang waktu sedemikian hingga nilai x, y, z dan t bernilai sama bagi pengamat atau objek tertentu.

Transformasi Koordinat, Kecepatan, dan Percepatan

Sesuai dengan konsep koordinat ruang dan waktu diatas, jika kita ingin menggambarkan keadaan dua pengamat sebagai acuan dalam waktu yang sama, tentu harus ada dua pengamat yang berbeda, misalnya P1 dan P2.

Pengamat P1 diam atau relatife diam, pengamat P2 relatif bergerak dan Objek O relative bergerak. Marilah kita memotret koordinat ruang kejadian tersebut dalam suatu rentang waktu. Dalam rentang waktu yang lebih besar dari epsilon (ε) waktu, posisi P1 adalah tetap dalam tempatnya, sementara posisi P2 dan O berada dalam ujung panah merah dalam dimensi ruang.

Waktu inersia, ruang inersia dan kecepatan inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Dengan demikian, rentang waktu pemotretan kejadian inersia O adalah sama bagi P1 dan P2.

Jika posisi O menurut P1 dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

• xo = f(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu x adalah vox=df(t)/dt
• yo =g(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu y adalah voy=dg(t)/dt
• zo=h(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu z adalah voz=dh(t)/dt

Dan posisi P2 menurut P1 dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

• x2=h(t), dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah v2x=dh(t)/dt
• y2=i(t), dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah v2y=di(t)/dt
• z2=j(t), dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah v2z=dj(t)/dt

Ruang inersia menurut P2 adalah sama menurut P1, dengan demikian koordinat ruang inersia O menurut P1 dan P2 adalah juga sama.

Dalam setiap waktu t dalam rentang waktu tersebut, posisi O menurut P2 adalah :

x’o = f(t) – h(t) y’o= g(t) – i(t) z’o = h(t)- j(t)

Karena waktu inersia sama bagi semua pengamat, maka kecepatan O menurut P2 bisa dituliskan menjadi:

Vox’ = dx’o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = vox - v2x Voy’ = dy’o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = voy - v2y Voz’ = dz’o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = voz - v2z

Lantas, bagaimana mencari transformasi percepatan Galilei? Percepatan sebuah partikel adalah turunan kecepatan terhadap waktu, yakni a=du/dt . Untuk mendapatkan transformasi percepatan Galilei, transformasi kecepatan didiferensiasikan dengan kenyataan bahwa t’ = t dan v = tetap. Hasilnya adalah a’x = ax a’y = ay a’z = az Jadi, komponen-komponen percepatan yang diukur adalah sama bagi semua pengamat yang bergerak dengan kecepatan relatif yang seragam.

Keinvarian Sebuah Persamaan

Keinvarian sebuah persamaan adalah bahwa persamaan akan memiliki bentuk yang sama apabila ditentukan oleh dua pengamat. Dalam teori klasik, diasumsikan bahwa pengukuran ruang dan waktu oleh dua pengamat dikaitkan melalui transormasi Galilei. Jadi, apabila sebuah persamaan mengambil bentuk khusus tertentu bagi seorang pengamat, maka kita dapat menerapkan transformasi Galilei pada bentuk ini untuk menentukan bentuk bagi pengamat lain. Jika kedua bentuk itu sama, maka persamaannya invarian terhadap transformasi Galilei.