Pangkat dua: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 17 Desember 2014 20.00

Pangkat dua atau bilangan kuadrat (bahasa Inggris: square) dalam matematika adalah hasil perkalian antara suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya sama engan memangkatkan dengan bilangan 2, dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi superskrip. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3², yaitu sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada dokumen bahasa pemrograman atau teks biasa, notasi x^2 atau x**2 dapat digunakan untuk menggantikan x².

Hasil pangkat dua suatu integer dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam aljabar, operasi pengkuadratan seringkali digeneralisasi ke polinomial, ekspresi lain, atau nilai-nilai dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari fungsi linear $x + 1$ adalah quadratic polynomial $x 2 + 2 x + 1$ .

Salah satu sifat penting dari kuadrat, bagi semua bilangan maupun sistem matematika, adalah bahwa untuk setiap bilangan atau variabel $x$ ), pangkat dua dari $x$ adalah sama hasilnya dengan pangkat dua invers aditifnya $- x$ . Jadi fungsi kuadrat memenuhi persamaan $x 2 = (- x) 2$ . Karenanya fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi genap.

Dalam bilangan real

$y = x 2$ . Kurva fungsi kuadrat mempunyai bentuk parabola. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu hukum kuadrat.

Fungsi kuadrat melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu fungsi monotonik pada interval $[0, +\infty)$ . Pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval $(-\infty,0]$ . Jadi, bilangan nol merupakan nilai minimum global.

Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan $x 2$ suatu bilangan menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari $x$ , yaitu ketika $0 < x < 1$ atau dengan kata lain, ketika $x$ termasuk ke dalam interval terbuka $(0,1)$ . Ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu integer tidak pernah lebih kecil daripada bilangan asalnya.

Setiap bilangar real positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan nol hanya merupakan pangkat dua dari satu bilangan saja, yaitu bilangan itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi akar kuadrat, yang dihubungkan dengan suatu bilangan real bukan negatif yang kuadratnya adalah bilangan asalnya.

Lihat pula

Exponentiation by squaring
Polynomial SOS, the representation of a non-negative polynomial as the sum of squares of polynomials
Hilbert's seventeenth problem, for the representation of positive polynomials as a sum of squares of rational functions
Square-free polynomial
Kubik (matematika)
Metric tensor
Quadratic equation
Polynomial ring

Identitas terkait

Algebraic (need a commutative ring)

Difference of two squares
Brahmagupta–Fibonacci identity, related to complex numbers in the sense discussed above
Euler's four-square identity, related to quaternions in the same way
Degen's eight-square identity, related to octonions in the same way
Lagrange's identity

Other

Kuantitas fisik terkait

acceleration, length per square time
cross section (physics), an area-dimensioned quantity
coupling constant (has square charge in the denominator, and may be expressed with square distance in the numerator)
kinetic energy (quadratic dependence on velocity)
specific energy, a (square velocity)-dimensioned quantity

Referensi

Pustaka tambahan

Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.

@@ Baris 3: / Baris 3: @@
 -->|{{math|5&sdot;5}}, atau {{math|5<sup>2</sup>}} (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu [[bujursangkar]]. Setiap blok mewakili satu unit, {{math|1&sdot;1}}, dan seluruh bujursangkar mewakili {{math|5&sdot;5}}, atau luas bujursangkar.]]
 '''Pangkat dua''' atau '''bilangan kuadrat''' ({{lang-en|square}}) dalam [[matematika]] adalah hasil [[perkalian]] antara suatu [[bilangan]] dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya sama engan [[eksponen|memangkatkan]] dengan bilangan &nbsp;[[2 (angka)|2]], dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi [[superskrip]]. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3<sup>2</sup>, yaitu sama dengan bilangan 9.
-Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada dokumen [[programming language]] atau [[plain text]], notasi <kbd>''x''^2</kbd> atau <kbd>''x''**2</kbd> dapat digunakan untuk menggantikan <kbd>''x''<sup>2</sup></kbd>.
+Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada dokumen [[bahasa pemrograman]] atau [[teks biasa]], notasi <kbd>''x''^2</kbd> atau <kbd>''x''**2</kbd> dapat digunakan untuk menggantikan <kbd>''x''<sup>2</sup></kbd>.
-<!--
-The adjective which corresponds to squaring is ''[[wikt:quadratic|quadratic]]''.
-The square of an [[integer]] may also be called a [[square number]] or a perfect square. In [[algebra]], the operation of squaring is often generalized to [[polynomial]]s, other [[expression (mathematics)|expressions]], or values in systems of mathematical values other than the numbers. For instance, the square of the [[linear function (calculus)|linear polynomial]] {{math|''x'' + 1}} is the [[quadratic polynomial]] {{math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}}.
+Hasil pangkat dua suatu [[integer]] dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam [[aljabar]], operasi pengkuadratan seringkali digeneralisasi ke [[polinomial]], [[ekspresi (matematika)|ekspresi]] lain, atau nilai-nilai dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari [[fungsi linear]] {{math|''x'' + 1}} adalah [[quadratic polynomial]] {{math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}}.
+Salah satu sifat penting dari kuadrat, bagi semua bilangan maupun sistem matematika, adalah bahwa untuk setiap bilangan atau variabel {{mvar|x}}), pangkat dua dari {{mvar|x}} adalah sama hasilnya dengan pangkat dua [[invers aditif]]nya {{math|&minus;''x''}}. Jadi fungsi kuadrat memenuhi persamaan {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}. Karenanya fungsi kuadrat merupakan suatu [[fungsi genap]].
-One of the important properties of squaring, for numbers as well as in many other mathematical systems, is that (for all numbers {{mvar|x}}), the square of {{mvar|x}} is the same as the square of its [[additive inverse]] {{math|&minus;''x''}}. That is,  the square function satisfies the identity {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}. This can also be expressed by saying that the squaring function is an [[even function]].
--->
 == Dalam bilangan real ==
 [[Image:Parabola2.svg|thumb|240px|{{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}}. Kurva [[fungsi kuadrat]] mempunyai bentuk [[parabola]]. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu [[hukum kuadrat]].]]
@@ Baris 16: / Baris 14: @@
 Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan&nbsp;{{math|''x''<sup>2</sup>}} suatu bilangan menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari {{mvar|x}}, yaitu ketika {{math|0 < ''x'' < 1}} atau dengan kata lain, ketika {{mvar|x}} termasuk ke dalam [[interval (matematika)|interval terbuka]] {{buka-buka|0,1}}. Ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu integer tidak pernah lebih kecil daripada bilangan asalnya.
-<!--
-Every positive [[real number]] is the square of exactly two numbers, one of which is strictly positive and the other of which is strictly negative. Zero is the square of only one number, itself. For this reason, it is possible to define the [[square root]] function, which associates with a non-negative real number the non-negative number whose square is the original number.
+Setiap [[bilangar real]] positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan [[nol]] hanya merupakan pangkat dua dari satu bilangan saja, yaitu bilangan itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi [[akar kuadrat]], yang dihubungkan dengan suatu bilangan real bukan negatif yang kuadratnya adalah bilangan asalnya.
+<!--
 No square root can be taken of a negative number within the system of [[real number]]s, because squares of all real numbers are [[non-negative]]. The lack of real square roots for the negative numbers can be used to expand the real number system to the [[complex number]]s, by postulating the [[imaginary unit]] {{mvar|i}}, which is one of the square roots of&nbsp;&minus;1.