Uji suku

Tes elemen, lengkapnya adalah tes elemen ke-n untuk divergensi (bahasa Inggris: "nth-term test for divergence") dalam matematika adalah tes sederhana untuk menguji apakah suatu deret tak terhingga bersifat divergen atau tidak, pada elemen ke-n.

• Jika $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ atau jika limit tidak ada, maka $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ bersifat divergen (tidak bertemu di satu titik tertentu).

Banyak penulis tidak menamai tes ini atau memberi nama yang lebih pendek.

Penggunaan

Tidak seperti tes konvergensi, tes elemen tidak dapat membuktikan sendiri bahwa suatu deret itu konvergen. Khususnya, kebalikan tes ini tidak benar. Sebaliknya, yang dapat dikatakan hanya:

• Jika $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ maka $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ dapat bersifat atau tidak bersifat konvergen. Dengan kata lain, jika $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ tes itu tidak mempunyai kesimpulan.

Deret harmonik merupakan contoh klasik deret divergen di mana elemen-elemennya mempunyai limit nol.. Kelas yang lebih umum dari deret-p,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},$

memberi contoh hasil yang mungkin didapat dari tes ini:

• Jika p ≤ 0, maka tes elemen mengidentifikasi bahwa deret itu divergen.
• Jika 0 < p ≤ 1, maka tes elemen itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu divergen berdasarkan tes integral untuk konvergensi.
• Jika 1 < p, maka tes elemen itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu konvergen berdasarkan.

Bukti

Tes ini biasanya dibuktikan dalam bentuk kontrapositif:

• Jika $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergen, maka $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Manipulasi limit

Jika s_n merupakan jumlah parsial deret itu, maka asumsi bahwa deret itu konvergen berarti bahwa

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=s$

untuk sejumlah bilangan s. Maka

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=s-s=0.$

Kriteria Cauchy

Asumsi bahwa suatu deret adalah konvergen berarti sudah lolos tes konvergensi Cauchy: untuk setiap $\varepsilon >0$ ada bilangan N sedemikian sehingga

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon$

berlaku untuk semua n > N dan p ≥ 1. Menetapkan nilai p = 1 memulihkan definisi pernyataan itu

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Ruang lingkup

Versi paling sederhana dari tes elemen berlaku untuk deret tak terhingga bilangan real. Kedua bukti di atas, berdasarkan kriteria Cauchy atau kelinearan limit, juga berlakuk untuk ruang vektor normed yang lain.

Lihat pula

• Deret (matematika)
• Elemen (matematika)

Pustaka

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0883857375. 
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 9812565639. 
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0821820508. 
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (edisi ke-3e). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. 
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (edisi ke-4e). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2. 
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1402016166.