Deret pangkat

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

dengan a_n melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .$

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

Any polynomial can be easily expressed as a power series around any center c, although most of the coefficients will be zero since a power series has infinitely many terms by definition. For instance, the polynomial $f(x)=x^{2}+2x+3$ can be written as a power series around the center $c=0$ as

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

or around the center $c=1$ as

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}$$+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

or indeed around any other center c. One can view power series as being like "polynomials of infinite degree," although power series are not polynomials.

The geometric series formula

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

which is valid for $|x|<1$, is one of the most important examples of a power series, as are the exponential function formula

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

and the sine formula

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

valid for all real x. These power series are also examples of Taylor series.

Negative powers are not permitted in a power series, for instance $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ is not considered a power series (although it is a Laurent series). Similarly, fractional powers such as $x^{1/2}$ are not permitted (but see Puiseux series). The coefficients $a_{n}$ are not allowed to depend on $x$, thus for instance:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$ is not a power series.

Radius of convergence

A power series will converge for some values of the variable x and may diverge for others. All power series f(x) in powers of (x-c) will converge at x = c. (The correct value f(c) = a₀ requires interpreting the expression 0⁰ as equal to 1.) If c is not the only convergent point, then there is always a number r with 0 < r ≤ ∞ such that the series converges whenever |x − c| < r and diverges whenever |x − c| > r. The number r is called the radius of convergence of the power series; in general it is given as

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

or, equivalently,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(this is the Cauchy–Hadamard theorem; see limit superior and limit inferior for an explanation of the notation). A fast way to compute it is

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$

if this limit exists.

The series converges absolutely for |x − c| < r and converges uniformly on every compact subset of {x : |x − c| < r}. That is, the series is absolutely and compactly convergent on the interior of the disc of convergence.

For |x − c| = r, we cannot make any general statement on whether the series converges or diverges. However, for the case of real variables, Abel's theorem states that the sum of the series is continuous at x if the series converges at x. In the case of complex variables, we can only claim continuity along the line segment starting at c and ending at x. -->

Operasi pada deret pangkat

Penjumlahan dan pengurangan

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$

maka

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

Perkalian dan pembagian

Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

Urutan $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ dikenal sebagai konvolusi urutan $a_{n}$ dan $b_{n}$.

Untuk pembagian, perhatikan:

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Diferensiasi dan integrasi

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.$

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Tingkatan deret pangkat

Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x₁, x₂, …, x_n). Tingkata (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga a_α ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

Lihat pula

• Deret (matematika)

Pranala luar

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld. 
• (Inggris)Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews
• (Inggris)Pangkat bilangan kompleks oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.