Teorema Bayes

Perumusan singkat Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

Pengenalan

Misalkan temen Anda bercerita dia bercakap-cakap akrab dengan seseorang lain di atas kereta api. Tanpa informasi tambahan, peluang dia bercakap-cakap dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan kawan Anda menyebut bahwa orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini tampaknya lebih bolehjadi kawan Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk menghitung besarnya peluang bahwa kawan Anda berbicara dengan seorang wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang. (Dadang)

Misalkan:

W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.

L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang

M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria

Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya peluang kawan Anda berbicara dengan wanita,

$P(W)=0,5$

Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai:

$P(L|W)=0,75$

Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain:

$P(L|M)=0,3$

Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita, atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.

Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L). Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:

$P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L|W)P(W)+P(L|M)P(M)}}$

Di sini kita menggunakan aturan peluang total. Dengan memasukkan nilai-nilai peluang yang diketahui ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan peluang seseorang itu wanita bila diketahui dia berambut panjang adalah 0,714. Angka ini sesuai dengan intuisi awal kita, bahwa peluang kawan kita itu bercakap-cakap dengan wanita meningkat.

Dari contoh di atas kita bisa merumuskan teorema Bayes secara umum.

Pernyataan

Secara umum, teorema Bayes dinyatakan sebagai:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

Dalam notasi ini P(A|B) berarti peluang kejadian A bila B terjadi dan P(B|A) peluang kejadian B bila A terjadi.

Pranala luar

• Teorema Bayes di situs I Do Maths
• Peranan Teorema Bayes dalam mengambil keputusan Repositori Universitas Sumatera Utara
• (Inggris) Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B). Berisi asal istilah "Bayesian", "Bayes' Theorem", "Bayes Estimate/Risk/Solution", "Empirical Bayes", dan "Bayes Factor".
• (Inggris)Statistika Bayes ringkasan dari Scholarpedia.
• (Inggris)(Inggris) Weisstein, Eric W. "Bayes' Theorem". MathWorld. 
• (Inggris)Bayes' theorem di PlanetMath.
• (Inggris)Tutorial tentang probabilitas dan teorema Bayes dirancang untuk mahasiswa psikologi Universitas Oxford
• (Inggris)Penjelasan grafis teorema Bayes.
• (Inggris) Aturan Bayes: tutorial oleh JV Stone.