Sistem reaksi-difusi

model reaksi-difusi adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: reaksi kimia lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan difusi yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang.

Sebagaimana deskripsi ini mengimplikasikan, sistem reaksi-difusi secara alami diterapkan di kimia. Akan tetapi, persamaan reaksi-difusi dapat juga mendeskripsikan proses dinamis non-kimiawi. Contoh-contoh ditemukan di biologi, geologi dan fisika serta ekologi. Secara matematis, sistem reaksi-difusi memiliki bentuk semi-linier persamaan diferensial parsial parabola. Persamaan tersebut dapat direpresentasi dalam bentuk umum

$\partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),$

dimana masing-masing komponen vektor q(x,t) mewakili konsentrasi dari satu substansi ${\underline {\boldsymbol {D}}}$ adalah matriks diagonal koefisien difusi dan R memperhitungkan seluruh reaksi lokal. Solusi persamaan reaksi-difusi menunjukkan jangkauan yang luas perilaku, mencangkup pembentukan gelombang menjalar dan fenomena seperti-gelombang sebagaimana pembentukan pola organisasi diri yang lain seperti strip, heksagonal atau lebih banyak struktur ruwet seperti soliton disipatif.

Persamaan reaksi-difusi satu komponen

Persamaan reaksi-difusi yang paling sederhana memperlakukan konsentrasi u substansi tunggal dalam satu dimensi ruang,

$\partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),$

juga dirujuk sebagai persamaan KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov). Jika suku reaksi hilang, maka persamaan menunjukkan proses difusi murni. Persamaan terkait adalah persamaan panas. Pilihan R(u)=u(1-u) menghasilkan persamaan Fisher yang pada awalnya digunakan untuk mendeskripsikan penyebaran populasi biologi, persamaan Newell-Whitehead-Segel dengan R(u) = u(1-u²) mendeskripsikan konveksi Rayleigh-Benard, persamaan Zeldovich yang lebih umum dengan R(u) = u(1-u)(u-α) dan 0<α<1 yang muncul dalam teori pembakaran, dan kasus degenerasi khususnya dengan R(u) = u²-u³ yang kadang-kadang dirujuk sebagai persamaan Zeldovich.

Dinamika sistem satu komponen adalah subjek terhadap pembatas tertentu sebagaimana persamaan evolusi dapat juga ditulis dalam bentuk variasional

$\partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}$

dan oleh karenanya mendeskripsikan penurunan permanen "energi bebas" ${\mathfrak {L}}$ diberikan oleh fungsional

${\mathfrak {L}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {D}{2}}(\partial _{x}u)^{2}+V(u)\right]{\text{d}}x$

dengan potensial V(u) sehingga R(u)=dV(u)/du.

A travelling wave front solution for Fisher's equation.