Integral

Sebuah integral tertentu dari sebuah fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int \,$

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,$

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

$F=\int f(x)\,dx.$

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,$

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Mencari nilai integral

Substitusi

• Contoh soal:
• Cari nilai dari:$\int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,$

$t=\ln x,dt={\frac {dx}{x}}$

$\int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,=\int t\,dt$

$={\frac {1}{2}}t^{2}+C$

$={\frac {1}{2}}ln^{2}x+C$

$t=\ln x,dt={\frac {dx}{x}}$

$\int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,=\int t\,dt$

$={\frac {1}{2}}t^{2}+C$

$={\frac {1}{2}}ln^{2}x+C$

• Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x\,dx\,$

$f'(x)=1,f(x)=x,g(x)=lnx,g'(x)={\frac {1}{x}}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx=xlnx-\int x{\frac {1}{x}}\,dx\,$

$=xlnx-\int 1\,dx\,$

$=xlnx-x+C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
${\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,$	$x={\frac {a}{b}}\sin \alpha \,$
${\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,$	$\!\,x={\frac {a}{b}}\tan \alpha \,$
${\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}\,$	$\,x={\frac {a}{b}}\sec \alpha \,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,$

$x=2\tan A,dx=2\sec ^{2}A\,dA\,$

$\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,$

$=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{(2tanA)^{2}{\sqrt {4+(2tanA)^{2}}}}}\,$

$=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4+4tan^{2}A}}}}\,$

$=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4(1+tan^{2}A)}}}}\,$

$=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4sec^{2}A}}}}\,$

$=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A.2secA}}\,$

$=\int {\frac {secA\,dA}{4tan^{2}A}}\,$

$={\frac {1}{4}}\int {\frac {secA\,dA}{tan^{2}A}}\,$

$={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t=sinA,dt=cosA\,dA\,$

$\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,$

$=\int {\frac {dt}{t^{2}}}\,$

$=\int t^{-2}\,dt\,$

$=-t^{-1}+C=-{\frac {1}{sinA}}+C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,$

$={\frac {1}{4}}.-{\frac {1}{sinA}}+C\,$

$=-{\frac {1}{4sinA}}+C\,$

Nilai sin A adalah ${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+4}}}$

$=-{\frac {1}{4sinA}}+C\,$

$=-{\frac {\sqrt {x^{2}+4}}{4x}}+C\,$

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\,$

${\frac {1}{x^{2}-4}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}\,$

$={\frac {A(x-2)+B(x+2)}{x^{2}-4}}\,$

$={\frac {Ax-2A+Bx+2B}{x^{2}-4}}\,$

$={\frac {(A+B)x-2(A-B)}{x^{2}-4}}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu $A+B=0\,$ dan $A-B=-{\frac {1}{2}}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $A=-{\frac {1}{4}},B={\frac {1}{4}}\,$

$\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\,$

$={\frac {1}{4}}\int ({\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}})\,dx\,$

$={\frac {1}{4}}(ln|x-2|-ln|x+2|)+C\,$

$={\frac {1}{4}}ln|{\frac {x-2}{x+2}}|+C\,$

Definisi formal

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

$\int e^{u}du=e^{u}+C\,$

Logaritma

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Trigonometri

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C\,$

$\int \tan x\,dx=\ln |\sec x|+C\,$

$\int \cot x\,dx=\ln |\sin x|+C\,$

$\int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|+C\,$

$\int \csc x\,dx=\ln |\csc x-\cot x|+C\,$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C\,$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C\,$

$\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C\,$

$\int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C\,$

Lihat pula

• Tabel integral
• Turunan

Pranala Luar

• (Indonesia) Operator Integrasi Berulang