Integral Gauss

Grafik f(x) = e^−x2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu x, yang sama dengan $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$.

Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, adalah integral fungsi Gauss e^−x2 di sepanjang garis riil. Konsep ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss. Integral ini adalah:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi distribusi normal. Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi error dan fungsi distribusi kumulatif distribusi normal. Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika (khususnya mekanika kuantum).

Penghitungan

Koordinat polar

Cara standar untuk menghitung integral Gauss adalah dengan menggunakan koordinat polar.

$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy$

• Pertimbangkan fungsi e^{−(x2 + y2)} = e^−r2 di bidang R², dan hitung integral dengan dua cara:
  1. di satu sisi, dengan integral lipat dalam sistem koordinat Kartesius, integralnya dilipatkan dua:

     $\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$

  2. di sisi lain, apabila menggunakan integral kulit tabung (integrasi lipat dalam sistem koordinat polar), hasilnya adalah π.

Berikut adalah penyelesaian yang menunjukkan bahwa hasilnya adalah pi:

${\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y)&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\&=\pi ,\end{aligned}}$

Daftar pustaka

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Gaussian Integral". MathWorld. 
• Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics (edisi ke-2nd). 
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications.