Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah algoritme yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini dinamai dari matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777–1855), walaupun metode ini sudah dikenal oleh matematikawan Tionghoa semenjak tahun 179 M.

Terdapat tiga jenis operasi yang dapat dilakukan dalam metode ini:

1. Mengganti urutan dua baris
2. Mengalikan baris dengan angka yang bukan nol
3. Menambah suatu baris dengan baris yang lainnya

Dengan cara ini, matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas.

Contoh

Berikut adalah suatu sistem persamaan linear:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (L_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (L_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (L_{3})\end{alignedat}}$

Cara penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dijabarkan dalam tabel berikut:

Sistem persamaan	Operasi baris	Matriks
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	$L_{2}+{\frac {3}{2}}L_{1}\rightarrow L_{2}$ $L_{3}+L_{1}\rightarrow L_{3}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	$L_{3}+-4L_{2}\rightarrow L_{3}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
Matriks telah menjadi matriks segitiga
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&{\frac {3}{2}}&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	$L_{2}+{\frac {1}{2}}L_{3}\rightarrow L_{2}$ $L_{1}-L_{3}\rightarrow L_{1}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	$2L_{2}\rightarrow L_{2}$ $-L_{3}\rightarrow L_{3}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	$L_{1}-L_{2}\rightarrow L_{1}$ ${\frac {1}{2}}L_{1}\rightarrow L_{1}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Daftar pustaka

• Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (edisi ke-2nd), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0 .
• Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor S. (2006), Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (edisi ke-2nd), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-79156-0 .
• Calinger, Ronald (1999), A Contextual History of Mathematics, Prentice Hall, ISBN 978-0-02-318285-3 .
• Farebrother, R.W. (1988), Linear Least Squares Computations, STATISTICS: Textbooks and Monographs, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-7661-9 .
• Lauritzen, Niels, Undergraduate Convexity: From Fourier and Motzkin to Kuhn and Tucker .
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (edisi ke-3rd), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 .
• Grcar, Joseph F. (2011a), "How ordinary elimination became Gaussian elimination", Historia Mathematica, 38 (2): 163–218, arXiv:0907.2397 , doi:10.1016/j.hm.2010.06.003 
• Grcar, Joseph F. (2011b), "Mathematicians of Gaussian elimination" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 58 (6): 782–792 
• Higham, Nicholas (2002), Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (edisi ke-2nd), SIAM, ISBN 978-0-89871-521-7 .
• Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2 .
• Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2010). "Numerical Methods with Applications" (edisi ke-1st). [1].  , Chapter 5 deals with Gaussian elimination.
• Lipson, Marc; Lipschutz, Seymour (2001), Schaum's outline of theory and problems of linear algebra, New York: McGraw-Hill, hlm. 69–80, ISBN 978-0-07-136200-9 .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 2.2", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (edisi ke-3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8