Ukuran luar

Dalam matematika terutama teori ukuran, ukuran luar secara formalnya adalah fungsi yang didefinisikan pada semua himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu dan dipetakan ke bilangan real dipeluas yang memenuhi beberapa syarat tertentu. Diperkenalkan oleh Constantin Carathéodory pada tahun 1914. Konsep ukuran luar memberi kemudahan untuk membangun ukuran

Definisi

Suatu ukuran luar, $\mu ^{*}\,$, secara formalnya adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan kuasa, ${\mathcal {P}}(X)$ pada himpunan $X\,$ yang dipetakan menuju $[0,\infty ]$ (lihat bilangan real diperluas), dan memenuhi sifat-sifat:

• Himpunan kosong berukuran nol:

$\mu ^{*}(\varnothing )=0;$

• Kemononotonan; jika $A\subset B\subset X$ maka

$\mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)$

• Subaditifitas: jika $A_{1}\,$, $A_{2}\,$, $A_{3}\,$, ... suatu barisan terbilang dari himpunan bagian $X\,$, maka

$\mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i}).$