Sifat distributif

Visualisasi hukum distributif untuk bilangan positif

Sifat Distributif pada bilangan bulat

Dalam matematika, Properti distributif adalah suatu penggabungan dengan cara mengkombinasikan bilangan dari hasil operasi terhadap elemen-elemen kombinasi tersebut.^[1] Distirbutif yang dimaksud disini adalah salah satu sifat-sifat dari operasi hitungan pada bilangan bulat.^[2] Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya.^[3] Bilangan termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,… dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah.^[3] Sifat Distributif ini biasanya disebut juga sifat penyebaran.^[2] Contohnya: ax (b + c) = axb + axc. Pada posisi ini operasinya adalah perkalian dan kombinasinya adalah penjumlahan.^[4]

Definisi

Bagian definisi himpunan pada $S$ dan dua operator biner ∗ dan + pada $S$ maka operasi ∗ adalah distributif bagian kiri di atas +, bila elemen diberikan $x, y$ dan $z$ dari $S$ , yaitu

x*(y+z)=(x*y)+(x*z),

adalah distributif bagian kanan di atas + jika, diberi elemen apa pun $x, y$ , dan $z$ dari $S$ ,

(y+z)*x=(y*x)+(z*x),

and

adalah distributif di atas + jika distributif kiri dan kanan.^[5]

Perhatikan bahwa ketika ∗ adalah komutatif, ketiga kondisi di atas adalah ekuivalen logis.

Artinya

Operator yang digunakan untuk contoh di bagian ini adalah operator penambahan ( $+$ ) dan perkalian ( $\cdot$ ).

Jika operasi yang dilambangkan dengan $\cdot$ tidak komutatif, ada perbedaan antara distribusi-kiri dan distribusi-kanan:

a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c

(distributif bagian kiri)

(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c

(distributif bagian kanan)

Dalam kedua kasus tersebut, properti distributif dapat dijelaskan dengan kata-kata sebagai:

Untuk mengalikan penjumlahan (atau perbedaan) dengan faktor, setiap penjumlahan (atau Angka yang dikurangi dan pengurangan) dikalikan dengan faktor ini dan produk yang dihasilkan ditambahkan (atau dikurangi).

Jika operasi di luar tanda kurung (dalam hal ini, perkalian) bersifat komutatif, kemudian distribusi kiri menyiratkan distribusi kanan dan sebaliknya, dan seseorang hanya berbicara tentang distributif.

Salah satu contoh operasi yang "hanya" distribusi-kanan adalah pembagian, yang tidak komutatif:

(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c

Dalam kasus ini, distributif bagian kiri tidak berlaku pada:

a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c

Hukum distributif berada di antara aksioma untuk gelanggang (seperti gelanggang pada bilangan bulat dan medan (seperti bidang bilangan rasional). Di sini perkalian bersifat distributif daripada penjumlahan, tetapi penjumlahan tidak distributif atas perkalian. Contoh struktur dengan dua operasi yang masing-masing distributif di atas yang lain adalah Aljabar Boolean seperti aljabar himpunan.

Mengalikan jumlah dapat dibuat menjadi kata-kata sebagai berikut: Ketika suatu jumlah dikalikan dengan jumlah, kalikan setiap jumlah penjumlahan dengan setiap penjumlahan dari jumlah lainnya (mencatat tanda-tanda) lalu jumlahkan semua produk yang dihasilkan.

Contoh

Bilangan riil

Dalam contoh berikut, penggunaan hukum distributif pada himpunan bilangan riil $\mathbb {R}$ diilustrasikan. Ketika perkalian disebutkan dalam matematika dasar, biasanya perkalian mengacu pada jenis perkalian ini. Dari sudut pandang aljabar, bilangan riil membentuk bidang, yang menjamin validitas hukum distributif.

Contoh pertama (perkalian mental dan tertulis)

Selama aritmetika mental, distribusi sering digunakan secara tidak sadar:

6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96

Jadi, untuk menghitung 6 ⋅ 16 di kepala seseorang, pertama mengalikan 6 ⋅ 10 dan 6 ⋅ 6 dan menambahkan hasil antara. Perkalian tertulis juga berdasarkan distribusinya.

Contoh kedua (dengan variabel)

3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}

Contoh ketiga (dengan dua penjumlahan)

{\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}

Di sini hukum distributif diterapkan dua kali, dan tidak masalah braket mana yang pertama kali dikalikan.

Contoh Keempat

Di sini hukum distributif diterapkan sebaliknya dibandingkan dengan contoh sebelumnya.

12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.

Karena faktor

6a^{2}b

terjadi di semua ringkasan, dapat difaktorkan keluar. Artinya, karena hukum distributif yang diperoleh

12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2})\,.

Matriks

Hukum distributif berlaku untuk perkalian matriks. Lebih tepatnya,

(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C

untuk $l\times m$ -matriks $A,B$ dan $m\times n$ -matriks $C$ , juga

A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C

untuk $l\times m$ -matriks $A$ dan $m\times n$ -matriks $B,C$ . Karena sifat komutatif tidak berlaku untuk perkalian matriks, maka hukum kedua tidak mengikuti hukum pertama. Dalam hal ini, keduanya adalah dua hukum yang berbeda.

Logika proposisional

Templat:Transformation rules

Aturan penggantian

Dalam logika proposisional kebenaran-fungsional standar, distribusi ^[6]^[7] dalam bukti logis menggunakan dua aturan penggantian yang valid untuk memperluas kejadian individu dari koneksi logis tertentu, dalam beberapa rumus, ke dalam aplikasi terpisah dari penghubung tersebut di seluruh sub rumus dari rumus yang diberikan. Aturannya adalah

(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))

and

(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))

dimana " $\Leftrightarrow$ ", juga ditulis '≡' , adalah metalogik pada simbol yang mewakili "dapat diganti dalam bukti dengan" atau "adalah ekuivalen logis untuk".

Konektor fungsional kebenaran

Distributivitas adalah properti dari beberapa koneksi logis dari fungsi kebenaran logika proposisional. Persamaan logis berikut menunjukkan bahwa distributivitas adalah properti dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah kebenaran-fungsional tautologi.

Distribusi konjungsi selama konjungsi: $(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land (P\land R))$

Distribusi konjungsi melalui disjungsi: $(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$

Distribusi disjungsi selama konjungsi: $(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

Distribusi disjungsi melalui disjungsi: $(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor (P\lor R))$

Distribusi implikasi: $(P\to (Q\to R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\to (P\to R))$

Distribusi implikasi atas kesetaraan: $(P\to (Q\leftrightarrow R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\leftrightarrow (P\to R))$ :

Distribusi implikasi selama konjungsi: $(P\to (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\land (P\to R))$

Distribusi disjungsi atas kesetaraan
$(P\lor (Q\leftrightarrow R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\leftrightarrow (P\lor R))$

Distribusi ganda: ${\begin{aligned}((P\land Q)\lor (R\land S))&\Leftrightarrow (((P\lor R)\land (P\lor S))\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))\\((P\lor Q)\land (R\lor S))&\Leftrightarrow (((P\land R)\lor (P\land S))\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))\end{aligned}}$

Rujukan

^ Van Hoeve; Hassan Shadily. Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7. Jakarta: Ichtiar Baru. hlm. 838-839.
^ ^a ^b "Sifat-sifat Operasi Hitungan". Diakses tanggal 15 Juni 2014.
^ ^a ^b "Bilangan Bulat". Diakses tanggal 15 Juni 2014.
^ Van Hoeve; Hassan Shadily. Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7. Jakarta: Ichtiar Baru. hlm. 839.
^ Distributivity of Binary Operations from Mathonline
^ Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company
^ Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

Pranala luar

A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)

[1] Van Hoeve; Hassan Shadily. Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7. Jakarta: Ichtiar Baru. hlm. 838-839.

[internet-2] "Sifat-sifat Operasi Hitungan". Diakses tanggal 15 Juni 2014.

[in-3] "Bilangan Bulat". Diakses tanggal 15 Juni 2014.

[4] Van Hoeve; Hassan Shadily. Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7. Jakarta: Ichtiar Baru. hlm. 839.

[5] Distributivity of Binary Operations from Mathonline

[6] Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company

[7] Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]