Garis singgung

Dalam geometri, garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut. Leibniz mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva.^[1] Lebih tepatnya, garis lurus disebut menyinggung kurva y = f (x) di titik x = c pada kurva jika garis melalui titik (c, f (c)) pada kurva dan memiliki kemiringan f '(c) dengan f ' adalah turunan f. Definisi serupa digunakan pada kurva ruang dan kurva dalam ruang Euklides dimensi-n.

Karena melalui titik di mana garis singgung dan kurva bertemu, disebut titik singgung, garis singgung "memiliki arah yang sama" dengan kurva, dan dengan demikian merupakan pendekatan garis lurus terbaik pada kurva di titik tersebut.

Serupa dengan garis singgung, bidang singgung permukaan di titik yang diketahui adalah bidang yang "hanya menyentuh" permukaan di titik tersebut. Konsep persinggungan adalah satu dari gagasan paling mendasar dalam geometri diferensial dan telah digeneralisasikan secara ekstensif; lihat ruang singgung.

Kata "tangen" berasal dari bahasa Latin tangere, yang berarti 'menyentuh'.

Sejarah

Euklides membuat sejumlah referensi garis singgung (ἐφαπτομένη ephaptoménē) lingkaran dalam buku ke-III Elements (c. 300 SM).^[2] Dalam karya Apollonius Conics (c. 225 SM), ia mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang tidak ada garis lurus lain berada di antara garis itu dan kurva.^[3]

Archimedes (c. 287 – c. 212 SM) menemukan garis singgung pada spiral Archimedes dengan mempertimbangkan jalur perpindahan titik sepanjang kurva.^[3]

Pada tahun 1630-an, Fermat mengembangkan teknik adekualitas untuk menghitung garis singgung dan masalah lainnya dalam analisis serta menghitung garis singgung parabola. Teknik adekualitas serupa dengan mengambil perbedaan antara $f(x+h)$ dan $f(x)$ serta membaginya dengan pangkat dua dari $h$ . Secara terpisah, Descartes menggunakan metode tegak lurus berdasarkan pada observasi bahwa radius lingkaran selalu tegak lurus dengan lingkaran itu sendiri.^[4]

Metode ini mengantarkan pada pengembangan kalkulus diferensial pada abad ke-17. Banyak orang berkontribusi di dalamnya. Roberval menemukan metode umum untuk menggambar garis singgung, mempertimbangkan sebuah kurva didefinisikan sebagai titik bergerak yang gerakannya merupakan resultan dari berbagai gerakan lebih sederhana.^[5] René-François de Sluse dan Johannes Hudde menemukan algoritme aljabar untuk mencari garis singgung.^[6] Perkembangan lebih lanjut meliputi John Wallis dan Isaac Barrow, membawa pada teori Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Sebuah definisi garis singgung pada tahun 1828 adalah "garis yang benar dengan menyentuh kurva, tetapi ketika diperpanjang, tidak memotong kurva tersebut".^[7] Definisi tua ini mencegah titik belok memiliki garis singgung. Definisi ini telah ditolak dan definisi modern sama dengan definisi Leibniz yang mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva.

Referensi

^ Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Oct. 1684.
^ Euclid. "Euclid's Elements". Diakses tanggal 1 Juni 2015.
^ ^a ^b Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). hlm. 2.8. Diakses tanggal 1 Juni 2015.
^ Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (edisi ke-3rd). Addison Wesley. hlm. 510. ISBN 978-0321387004.
^ Wolfson, Paul R. (2001). "The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents". The American Mathematical Monthly. 108 (3): 206–216. doi:10.2307/2695381.
^ Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (edisi ke-3rd). Addison Wesley. hlm. 512–514. ISBN 978-0321387004.
^ Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]

Sumber

J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. hlm. 143 ff.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Tangent line", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Tangent Line". MathWorld.
Garis singgung lingkaran dengan animasi interaktif
Garis singgung dan turunan pertama — Simulasi interaktif

[1] Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Oct. 1684.

[2] Euclid. "Euclid's Elements". Diakses tanggal 1 Juni 2015.

[Shenk-3] Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). hlm. 2.8. Diakses tanggal 1 Juni 2015.

[4] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (edisi ke-3rd). Addison Wesley. hlm. 510. ISBN 978-0321387004.

[5] Wolfson, Paul R. (2001). "The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents". The American Mathematical Monthly. 108 (3): 206–216. doi:10.2307/2695381.

[6] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (edisi ke-3rd). Addison Wesley. hlm. 512–514. ISBN 978-0321387004.

[7] Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]