Rumus Heron

Segitiga dengan sisi a, b dan c

Teorema Heron (bahasa Inggris: Heron's Theorem) adalah teori matematika yang mengira luas segitiga dengan menggunakan ilmu trigonometri. Menurut rumus ini, luas (A) suatu segitiga dengan panjang sisi a, b dan c adalah

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

di mana s adalah semiperimeter segitiga itu:

$$s={\frac {a+b+c}{2}}.$$

Sejarah

Formulasi Heron mungkin telah dikenal sebelumnya oleh Archimedes, yang mungkin membuktikan hal itu, tetapi catatan terawal adalah dari tulisan Heron dari Iskandariah, Metrica. Heron dijelaskan sebagai ahli matematika yang bukan-klasik. Dia lebih melibatkan terkait pemaktrikan matematika dari teori dan layanan matematika sebagai suatu sains dan kesenian. Jadi, dia juga dikatakan sebagai pencipta sejenis mesin uap, berbagai mainan, sebuah mesin api yang memompa air, sebuah api altar yang menyala lalu menyebabkan pintu kuil terbuka, sebuah organ tiup, dan berbagai alat mekanik lain berbasis sifat cairan dan peraturan pada mekanik mudah.

Pembuktian

Segitiga dengan sisi a, b dan c

Formula ini juga dapat diterbitkan dari:

Pertama sesuai dengan aturan kosinus:

$\cos \mathbb {C} ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Kedua sesuai dengan aturan trigonometri:

$\sin \mathbb {C} ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

Ketiga sesuai dengan aturan sinus:

${\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}({\mbox{alas}})({\mbox{tinggi}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \mathbb {C} \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

yaitu a, b dan c adalah panjang sisi segitiga dan s adalah setengah jumlah seluruh panjang segitiga.

Referensi

• Pappas, T. (2002) The Joy of Mathematics: Discovering Mathematics All Around You