Barisan Recamán

Dalam ilmu komputer dan matematika, barisan Recamán atau barisan Recaman adalah barisan bilangan populer yang didefinisikan berdasarkan relasi rekurensi karena elemennya berhubungan dengan elemen sebelumnya secara langsung, sering kali didefinisikan dengan rekursi.

Gambar 65 elemen pertama dari barisan Recamán, berdasarkan metode visualisasi yang ditunjukkan pada video Numberphile, The Slightly Spooky Recamán Sequence

Barisan ini diberi nama berdasarkan penemunya, Bernardo Recamán Santos (lahir di Bogotá, 5 Agustus 1954), seorang matematikawan asal Kolombia.

Definisi

Barisan Recamán $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ didefinisikan sebagai berikut:

$a_{n}={\begin{cases}0&&{\text{if }}n=0\\a_{n-1}-n&&{\text{if }}a_{n-1}-n>0{\text{ and is not already in the sequence}}\\a_{n-1}+n&&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Elemen-elemen pertama dari barisan ini adalah:

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27, 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155, ...

On-line encyclopedia of integer sequences (OEIS)

Barisan Recamán dinamakan berdasarkan penemunya, matematikawan asal Kolombia yang bernama Bernardo Recamán Santos, oleh Neil Sloane, pendiri On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). Entri OEIS untuk barisan ini adalah A005132.

Bahkan setelah Neil Sloane mengumpulkan lebih dari 325.000 barisan bilangan sejak 1964, barisan Recamán disebutkan dalam makalahnya, My Favorite Integer Sequences. Dia juga menyatakan bahwa dari semua barisan yang ada di OEIS, barisan ini yang paling suka ia dengarkan.

Representasi visual

Grafik 100 elemen pertama dari barisan Recáman.

Visualisasi paling umum untuk barisan Recamcn adalah grafik bilangannya, seperti pada gambar berikut.

Pada 14 Januari 2018, kanal Youtube Numberphile mengeluarkan video berjudul The Slightly Spooky Recamán Sequence yang menunjukkan visualisasi barisan Recamán dengan setengah lingkaran yang bergantian, seperti pada gambar di bagian atas laman ini.

Pada 25 Januari 2018, Benjamin Chaffin mengeluarkan grafik log-log untuk memvisualisasi 10²³⁰ elemen pertama dari barisan Recamán.

Representasi suara

Bilangan-bilangan pada barisan Recamán bisa dihubungkan dengan nada sehingga menjalankan barisan tersebut menjadi seperti memainkan musik. Rekamannya dapat didengarkan pada situs OEIS.

Sifat-sifat

Barisan ini berlaku:

$a_{n}\geq 0$

$|a_{n}-a_{n-1}|=n$

Ini bukan permutasi dari bilangan bulat: elemen yang pertama kali berulang adalah $42=a_{24}=a_{20}$; selain itu, ada pula $43=a_{18}=a_{26}$.

Konjektur

Neil Sloane membuat konjektur bahwa semua bilangan akan muncul pada barisan Recamán, namun hal ini belum dibuktikan. Walaupun 10¹⁵ elemen telah dihitung (pada 2018), bilangan 852.655 belum muncul pada daftarnya.

Kegunaan

Selain sifat matematika dan estetikanya, barisan Recamán dapat digunakan untuk mengamankan gambar 2 dimensi melalui steganografi.

Pemrograman

Perhitungan elemen dalam barisan Recamán bisa diprogram.

Situs krestomati pemrograman berbasis wiki, Rosetta Code, mengumpulkan program-program dalam lebih dari 30 bahasa pemrograman untuk menghitung elemen barisan ini pada laman Recaman's sequence.

Barisan lain

Barisan ini adalah barisan ciptaan Recamán yang paling terkenal. Ada barisan buatannya yang lain, yang kurang terkenal, yang didefinisikan sebagai berikut:

$a_{1}=1$

$a_{n+1}={\begin{cases}a_{n}/n&&{\text{if }}n{\text{ divides }}a_{n}\\na_{n}&&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Entri OEIS-nya adalah A008336.

Pranala luar

• OEIS sequence A005132 (Recamán's sequence)
• The Slightly Spooky Recamán Sequence. (June 14, 2018) Numberphile di YouTube
• The Recamán's sequence di Rosetta Code