Jarak

Jarak adalah suatu ukuran numerik yang menunjukkan seberapa jauh posisi suatu objek dengan objek lainnya. Dalam bidang fisika atau dalam pengertian sehari-hari, jarak dapat merujuk pada panjang (secara fisik) antara dua buah posisi, atau suatu estimasi berdasarkan kriteria tertentu (misalnya jarak tempuh antara Jakarta-Bandung). Jarak dari titik A ke titik B umumnya dinyatakan sebagai $|AB|$ .^[1] Pada kebanyakan kasus, frasa "jarak dari A ke B" dapat dipertukarkan dengan "jarak dari B ke A". Dalam bidang matematika, fungsi jarak atau metrik adalah generalisasi dari konsep jarak secara fisik; yakni sebagai salah satu cara untuk memberikan pengertian seberapa "jauh" atau "dekat" posisi dua objek. Dalam psikologi dan ilmu sosial, jarak adalah ukuran non-numerik.

Gambaran Umum dan Definisi

Jarak secara fisik

Jarak secara fisik dapat merujuk beberapa hal berbeda:

Jarak yang ditempuh: panjang suatu lintasan yang spesifik antara dua titik; contohnya jarak yang ditempuh ketika menggunakan kendaraan di jalan raya.
Jarak garis lurus (Euklides): panjang lintasan terpendek antara dua titik, yang dapat ditempuh jika tidak ada halangan antara kedua titik (umumnya dinyatakan secara formal sebagai jarak Euklides).
Jarak geodesik: panjang lintasan terpendek antara dua titik, yang dapat ditempuh tanpa meninggalkan suatu permukaan; contohnya panjang lingkaran besar sepanjang kelengkungan permukaan Bumi.
Panjang suatu lintasan tertentu sebuah objek yang bergerak kembali ke titik awal, seperti bola yang dilempar lurus ke atas, atau Bumi saat menyelesaikan satu orbit.

Definisi jarak yang tidak umum dapat berguna untuk memodelkan situasi fisik tertentu, tetapi juga dipakai dalam matematika murni:

"Jarak Manhattan" adalah jarak bujur sangkar, diartikan sebagai banyaknya jumlah blok (di arah utara, selatan, timur, atau barat) yang harus dilalui taksi untuk mencapai tujuannya, di beberapa jalan raya Kota New York.
"Jarak papan catur", secara formal disebut jarak Chebyshev, adalah jumlah gerakan minimum yang harus dilakukan raja di papan catur, untuk menuju suatu kotak lainnya.

Ukuran jarak dalam kosmologi lebih rumit karena dipengaruhi oleh faktor ekspansi alam semesta, dan oleh efek-efek yang dijelaskan oleh teori relativitas (seperti kontraksi panjang benda bergerak).

Jarak teoretis

Definisi "jarak" juga digunakan sebagai analogi untuk mengukur dua objek non-fisik dalam cara tertentu.

Pada bidang ilmu komputer, terdapat notasi "jarak pengeditan" antara dua senarai (string). Sebagai contoh, kata "makan" dan "makam" yang hanya berbeda satu huruf, lebih dekat jaraknya daripada kata "makan" dan "malam" yang memiliki perbedaan dua huruf. Konsep ini digunakan dalam teori kode dan pada pemeriksa ejaan. Secara matematis jarak dapat didefinisikan dalam beberapa cara:

Dalam matematika, ruang metrik adalah himpunan di mana jarak antar anggota-anggota himpunan terdefinisi. Dengan cara ini, banyak tipe "jarak" dapat dihitung, seperti traversal graf, perbandingan distribusi dan kurva, dan definisi tidak umum "ruang" (sebagai contoh lipatan dan refleksi). Notasi jarak di teori graf digunakan untuk mendeskripsikan jejaring sosial, sebagai contoh bilangan Erdős atau bilangan Bacon—bilangan yang menunjukkan jauhnya hubungan kolaboratif seseorang dari matematikawan Paul Erdős dan dengan aktor Kevin Bacon.

Dalam psikologi, geografi manusia, dan ilmu sosial, jarak sering kali diartikan bukan sebagai ukuran yang objektif, tetapi sebagai pengalaman subjektif.^[2]

Jarak versus Jarak terarah dan Perpindahan

Baik jarak dan perpindahan sama-sama mengukur pergerakan suatu benda. Jarak adalah besaran skalar sedangkan perpindahan adalah besaran vektor dengan besar dan arah. Jarak kedua titik tidak dapat bernilai negatif. Di sisi lain, karak terarah tidak mengukur pergerakan; itu mengukur posisi sebuah titik dari suatu titik acuan, dan dinyatakan dalam bentuk vektor. Jarak yang ditempuh oleh kendaraan (misalnya seperti yang dicatat oleh odometer), orang, hewan, atau objek di sepanjang lintasan melengkung dari titik A ke titik B harus dibedakan dari jarak garis lurus dari A ke B, karena secara umum jarak garis lurus tidak sama dengan jarak yang ditempuh, kecuali untuk perjalanan dalam garis lurus.

Jarak terarah

Jarak terarah dapat ditentukan di sepanjang garis lurus dan di sepanjang lintasan melengkung. Jarak terarah sepanjang garis lurus adalah vektor yang memberikan informasi jarak dan arah antara titik awal dan titik akhir. Jarak terarah titik $C$ dari titik $A$ pada garis ${\overline {AB}}$ dan dalam arah $B$ pada ruang vektor Euklides adalah jarak dari $A$ ke $C$ jika $C$ jatuh pada sinar ${\vec {AB}}$ , tetapi bernilai negatif jika $C$ jatuh pada sinar ${\vec {BA}}$ .

Jarak terarah sepanjang lintasan melengkung bukanlah vektor dan diwakili oleh segmen garis lengkung yang ditentukan oleh titik ujung A dan B, dengan beberapa informasi spesifik yang menunjukkan pengertian (atau arah) gerakan ideal atau nyata dari satu titik ujung lintasan ke yang lain. Misalnya, hanya memberi A dan B sebagai label dua titik dapat menunjukkan pengertian, jika urutan (A, B) menyiratkan bahwa A adalah titik awal.

Perpindahan

Perpindahan adalah kasus spesial jarak terarah yang terdefinisi di mekanika. Jarak terarah disebut perpindahan jika lintasan antara titik A dan B berupa garis lurus (jarak terpendek antara A dan B).

Matematika

Geometri

Pada geometri analitik, jarak Euklides antara dua titik pada bidang- $xy$ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan jarak. Jarak antara $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{1},y_{1})$ adalah^[3]^[4]

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Serupa, jarak antara titik $(x_{1},y_{1},z_{1})$ dan $(x_{2},y_{2},z_{2})$ pada ruang dimensi tiga adalah

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

Persamaan ini didapatkan dengan menerapkan teorema Pythagoras, dan dapat dikembangkan menjadi persamaan panjang kurva. Jika fungsi bernilai vektor $f(t)=(x(t),\,y(t))$ adalah kurva yang menghubungkan titik A dan titik B (masing-masing dengan koordinat $f(a)$ dan $f(b)$ ), panjang kurva tersebut dapat ditentukan dengan ^[5]

$d=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\Big (}{\frac {dx}{dt}}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {dy}{dt}}{\Big )}^{2}}}dt=\int _{a}^{b}||f'(t)^{2}||dt$ .

Definisi jarak dengan bentuk persamaan yang berbeda digunakan dalam geometri bukan Euklides.

Jarak pada ruang Euklides

Pada ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$ , jarak antara dua titik umumnya didapatkan dari jarak Euklides (jarak 2-norma). Definisi jarak dari norma lainnya juga digunakan dalam keadaan tertentu.

Untuk sebuah titik $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ dan titik $(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ , jarak Minkowski dengan besar $p$ (jarak $p$ -norma) didefinisikan sebagai

jarak 1-norma	$=\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|$
jarak 2-norma	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{2}\right)^{1/2}$
jarak $p$ -norma	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
jarak norma tak-hingga	$=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(\|x_{1}-y_{1}\|,\|x_{2}-y_{2}\|,\ldots ,\|x_{n}-y_{n}\|\right).$

$p$ tidak perlu berupa bilangan bulat, namun nilainya tidak dapat kurang dari 1, karena dalam kondisi tersebut pertidaksamaan segitiga tidak berlaku.

Jarak 2-norma adalah jarak Euklides, generalisasi teorema Pythagoras untuk koordinat lebih dari dari dua. Nilai yang didapatkan jarak ini sama dengan nilai akan didapatkan ketika mengukur jarak kedua titik dengan menggunakan penggaris: ide "intuitif" dari jarak.

Jarak 1-norma, juga disebut norma taksi atau jarak Manhattan, adalah jarak yang tempuh taksi pada kota yang ditata dalam blok-blok persegi.

Jarak norma tak-hingga juga disebut dengan jarak Chebyshev. Pada dimensi dua, jarak tersebut adalah banyaknya gerakan minimum yang harus dilakukan raja di papan catur untuk menuju suatu kotak lainnya.

Jarak $p$ -norma jarang digunakan untuk nilai $p$ selain 1, 2, dan tak hingga.

Metrik secara umum

Dalam matematika, khususnya geometri, fungsi jarak pada sebuah himpunan ${\text{M}}$ adalah sebuah fungsi $d:{\text{M}}\times {\text{M}}\to \mathbb {R}$ , dengan $\mathbb {R}$ menyatakan himpunan bilangan real, yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:^[6]

$d(x,y)\geq 0$ , dan $d(x,y)=0$ jika dan hanya jika $x=y$ . (Jarak antara dua titik yang berbeda selalu positif, dan bernilai nol ketika mengukur jarak sebuah titik ke dirinya sendiri.)
Bersifat simetris: $d(x,y)=d(y,x)$ . (Jarak dari $x$ ke $y$ sama dengan jarak dari $y$ ke $x$ .)
Memenuhi pertidaksamaan segitiga: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ . (Jarak antara dua titik adalah jarak terpendek dari semua lintasan yang menghubungkan kedua titik).

fungsi $d$ yang memenuhi kondisi-kondisi tersebut dikenal sebagai sebuah metrik. Bersama dengan himpunan ${\text{M}}$ , fungsi ini membentuk ruang metrik. Sebagai contoh, jaraka antara dua bilangan real $x$ dan $y$ adalah $d(x,y)=|x-y|$ . Definisi ini memenuhi ketiga kondisi di atas, dan sesuai dengan topologi yang umum dari garis bilangan real. Namun definisi jarak pada suatu himpunan adalah masalah pilihan. Seseorang dapat mendefinisikan fungsi $d(x,y)=0$ jika $x=y$ , dan bernilai 1 untuk kasus $x\neq y$ . Fungsi ini juga sebuah metrik, namun pada topologi yang sangat berbeda, yakni topologi diskret; dalam definisi ini, dua bilangan tidak bisa dipilih agar jarak mereka sesedekat mungkin.

Teori graf

Pada teori graf, jarak antara dua titik adalah panjang lintasan terpendek antara dua titik tersebut.

Referensi

^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2021-01-17.
^ "SOCIAL DISTANCES". www.hawaii.edu. Diakses tanggal 2021-01-17.
^ Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-01-17.
^ "Distance Between 2 Points". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2021-01-17.
^ "Calculus II - Arc Length". tutorial.math.lamar.edu. Diakses tanggal 2021-01-17.
^ "A New Kind of Science | Online by Stephen Wolfram | Definitions of distance". www.wolframscience.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-03-07.

[1] "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2021-01-17.

[2] "SOCIAL DISTANCES". www.hawaii.edu. Diakses tanggal 2021-01-17.

[3] Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-01-17.

[4] "Distance Between 2 Points". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2021-01-17.

[5] "Calculus II - Arc Length". tutorial.math.lamar.edu. Diakses tanggal 2021-01-17.

[6] "A New Kind of Science | Online by Stephen Wolfram | Definitions of distance". www.wolframscience.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-03-07.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

jarak 1-norma	$=\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|$
jarak 2-norma	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{2}\right)^{1/2}$
jarak $p$ -norma	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
jarak norma tak-hingga	$=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(\|x_{1}-y_{1}\|,\|x_{2}-y_{2}\|,\ldots ,\|x_{n}-y_{n}\|\right).$