Keragaman topologi

Dalam topologi, sebuah cabang matematika, sebuah keragaman topologi atau manifold topologi atau lipatan topologi adalah sebuah ruang topologi yang secara lokal mirip dengan ruang riil berdimensi n. Keragaman topologi menyusun sebuah kelas penting dari ruang topologi dengan aplikasi di seluruh bidang matematika.

Sebuah keragaman dapat berarti keragaman topologi, atau lebih seringnya, sebuah keragaman topologi dengan struktur tambahan. Misalnya, keragaman diferensiabel adalah keragaman topologi yang dilengkapi dengan struktur diferensial. Setiap keragaman memiliki keragaman topologi yang mendasarinya, yang bisa didapatkan cukup dengan melupakan struktur tambahan padanya.

Definisi formal

Sebuah ruang topologi X disebut Euklidean lokal jika terdapat sebuah bilangan cacah tak negatif n sedemikian sehingga setiap titik di X memiliki ketetanggaan yang homeomorfik dengan ruang Euklidean Eⁿ (atau ruang Rⁿ, atau himpunan terbuka terhubung dari salah satu dari keduanya).^[1]

Sebuah keragaman topologi adalah sebuah ruang Hausdorff yang secara lokal adalah Euklidean. Umumnya banyak penulis menambahkan persyaratan tambahan pada keragaman topologi. Lebih spesifiknya, banyak penulis menambahkan persyaratan parakompak atau terhitung kedua.

Selanjutnya, keragaman berarti sebuah keragaman topologi. Sebuah keragaman-n berarti sebuah keragaman topologi sedemikian sehingga setiap titik memiliki ketetanggaan yang homeomorfik dengan R^n.

Contoh

Keragaman-n

Ruang Rⁿ adalah prototipe keragaman-n.
Setiap ruang diskrit adalah sebuah keragaman berdimensi-0.
Lingkaran adalah sebuah keragaman-1 yang kompak.
Torus dan botol Klein adalah keragaman-2 yang kompak (atau permukaan).
Setiap kulit bola berdimensi-n S^n adalah sebuah keragaman-n yang kompak.
The n-dimensi torus Tⁿ (produk n lingkaran) adalah kompak n-manifold.

Keragaman proyektif

Ruang proyektif atas bilangan riil, kompleks, atau quaternion adalah keragaman-keragaman yang kompak.
- Ruang proyektif riil RPⁿ adalah sebuah keragaman berdimensi-n.
- Ruang proyektif kompleks CPⁿ adalah sebuah keragaman berdimensi-2n.
- Ruang proyektif quaternion HPⁿ adalah sebuah keragaman berdimensi-4n.
Keragaman yang terkait dengan ruang proyektif misalnya Grassmanian, keragaman bendera, dan keragaman Stiefel.

Keragaman-keragaman lain

Ruang lensa adalah sebuah kelas keragaman yang merupakan ruang bagi (quotient space) dari bola berdimensi ganjil.
Grup Lie adalah keragaman yang dilengkapi dengan sebuah struktur grup.
Setiap himpunan terbuka dari sebuah keragaman-n adalah sebuah keragaman-n dengan topologi subruang.

Konstruksi

Jika M adalah keragaman-m dan N adalah keragaman-n, perkalian langsung M × N adalah keragaman-(m+n).
Gabungan lepas dari sebuah keluarga keragaman-n adalah sebuah keragaman-n (setiap potong harus memiliki dimensi yang sama).
Penjumlahan terhubung (connected sum) dari dua keragaman-n menghasilkan sebuah keragaman-n juga.

Sifat-sifat

Sifatnya yaitu Euklidean secara lokal terjaga oleh homeomorfisme lokal. Artinya, jika X adalah Euklidean lokal berdimensi n dan f : Y → X adalah homeomorfisme lokal, maka Y juga Euklidean lokal berdimensi-n. Lebih eksplisitnya, sifat Euklidean lokal merupakan sifat topologi.

Keragaman mewarisi banyak sifat dari ruang Euklidean. Spesifiknya, mereka adalah kompak secara lokal, terhubung secara lokal, terhitung pertama, dapat disusutkan secara lokal, dan dapat dimetrisasi secara lokal. Karena merupakan sebuah ruang Hausdorff yang kompak secara lokal, keragaman merupakan ruang Tychonoff.

Menambahkan persyaratan Hausdorff dapat membuat beberapa sifat adalah setara untuk sebuah keragaman. Misalnya,kita bisa menunjukkan untuk sebuah keragaman Hausdorff, gagasan kekompakan-σ dan terhitung kedua adalah setara. Keragaman Hausdorff adalah ruang Hausdorff yang kompak lokal, sehingga ia (sepenuhnya) reguler.^[2] Misalkan ruang X adalah kompak-σ. Maka ia adalah Lindelöf dan karena Lindelöf + reguler mengimplikasikan sifat parakompak, X adalah dapat dimetrisasi (metrisable). Tapi untuk sebuah ruang yang metrisable, terhitung-kedua bertepatan dengan sifat Lindelöf, jadi X adalah terhitung kedua. Sebaliknya, jika X adalah keragaman terhitung-kedua Hausdorff, maka ia pasti kompak-σ.^[3]

Sebuah keragaman tidak perlu untuk terhubung, tapi setiap keragaman M adalah gabungan lepas dari beberapa keragaman terhubung. Keragaman-keragaman ini hanyalah komponen terhubung dari M, yang dimana hanyalah merupakan himpunan terbuka karena keragaman adalah terhubung secara lokal. Karena ia terhubung secara lokal, sebuah keragaman merupakan terhubung lintas jika dan hanya jika ia terhubung secara topologi. Dari sini dapat diketahui bahwa komponen terhubung lintas adalah sama dengan komponen terhubung.

Aksioma Hausdorff

Sifat Hausdorff bukanlah sesuatu yang lokal; jadi meskipun ruang Euklidean adalah Hausdorff, sebuah ruang yang secara lokal mirip Euklidean tidak harus Hausdorff. Meski demikian, setiap ruang yang secara lokal Euklidean adalah terhitung pertama (T₁).

Sebuah contoh ruang yang secara lokal Euklidean tapi tak Hausdorff adalah garis dengan dua pangkal. Ruang ini dibentuk dengan mengganti pangkal dari garis riil dengan dua titik, dengan ketetanggaan terbuka yang mengandung seluruh bilangan tak nol dalam sebuah interval terbuka yang berpusat di nol. Ruang ini bukanlah Hausdorff karena dua pangkalnya tidak bisa dipisahkan.

Aksioma keterhitungan dan kekompakan

Sebuah keragaman dapat dimetrisasi (metrisabel) jika dan hanya jika ia merupakan parakompak. Karena metrisabilitas merupakan sifat yang penting bagi sebuah ruang topologi, adalah hal yang umum untuk menambahkan sifat parakompak dalam definisi keragaman. Bagaimanapun juga, keragaman yang tidak parakompak umumnya dianggap sebagai patologis. Sebuah contoh dari keragaman yang tak parakompak diberikan oleh garis panjang. Keragaman yang parakompak biasanya memiliki sifat topologi seperti ruang metrik. Lebih tepatnya, mereka adalah terhitung ke-6 (T6).

Keragaman juga sering kali diharuskan untuk terhitung-kedua. Syarat ini diperlukan supaya keragaman dapat disisipkan dalam ruang Euklidean dimensi berhingga. Untuk sembarang keragaman, sifat terhitung-kedua, Lindelof, dan kompak-σ adalah setara.

Setiap keragaman terhitung-kedua merupakan parakompak, tetapi tidak sebaliknya. Meski demikian, kebalikannya hampir benar: sebuah keragaman parakompak merupakan terhitung kedua jika dan hanya jika ia memiliki jumlah komponen terhubung yang terhitung. Khususnya, sebuah keragaman terhubung adalah parakompak jika dan hanya jika ia merupakan terhitung-kedua. Setiap keragaman terhitung-kedua adalah dapat dipisahkan (separabel) dan parakompak. Lebih jauh lagi, jika sebuah keragaman adalah dapat dipisahkan dan parakompak maka ia juga terhitung-kedua.

Setiap keragaman yang kompak merupakan terhitung-kedua dan parakompak.

Dimensi

Melalui ketetapan domain, sebuah keragaman-n tidak bisa juga berupa keragaman-m untuk n ≠ m. The dimension of a non-empty n-manifold is n. Being an n-manifold is a topological property, meaning that any topological space homeomorphic to an n-manifold is also an n-manifold.

Sebuah keragaman berdimensi-1 sering disebut kurva sedangkan sebuah keragaman berdimensi-2 sering disebut sebagai permukaan. Keragaman dengan dimensi yang lebih tinggi biasanya cukup disebut dengan keragaman-n.

Catatan kaki

^ The topology of Eⁿ is identical to the standard topology of Rⁿ, so these two spaces are not distinguished in topology. Also, any non-empty open subset of Eⁿ contains an Euclidean open ball, which is homeomorphic to the entire space.
^ Topospaces subwiki, Locally compact Hausdorff implies completely regular
^ Stack Exchange, Hausdorff locally compact and second countable is sigma-compact

[1] The topology of Eⁿ is identical to the standard topology of Rⁿ, so these two spaces are not distinguished in topology. Also, any non-empty open subset of Eⁿ contains an Euclidean open ball, which is homeomorphic to the entire space.

[2] Topospaces subwiki, Locally compact Hausdorff implies completely regular

[3] Stack Exchange, Hausdorff locally compact and second countable is sigma-compact

[1]

[2]

[3]