Ukuran (matematika)

.

Dalam matematika, konsep ukuran umumnya merujuk pada pengertian seperti "panjang", "luas" dan "volume".

Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Selain itu ukuran juga penting dalam teori peluang.

Definisi

Misalkan $(X,\Sigma )$ ruang terukur, yaitu $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ sebuah aljabar σ pada $X$. Fungsi $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ sebuat ukuran, jika memenuhi sifat-sifat:

1. $\mu (A)\geq 0$ untuk semua $A\in \Sigma$.
2. $\mu (\emptyset )=0$.
3. $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$ untuk semua $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma$ yang saling asil ( yaitu $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ untuk semua $i\neq j$).

Anggota dari $\Sigma$ dikatakan himpunan terukur.

Selain itu, $(X,\Sigma ,\mu )$ disebut ruang ukuran.

Contoh

Ukuran Lebesgue

Ukuran Lebesgue di $\mathbb {R}$ suatu perumuman dari panjang. Panjang interval $I=[a,b],[a,b),(a,b]$ atau $(a,b)$ didefinisikan $|I|=b-a$. Sekarang misalkan $A\subseteq \mathbb {R}$ suatu himpunan bagian. Keluarga interval $(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ dikatakan meliputi $A$ apabila $A\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$. Ukuran luar $A$ didefinisikan sebagai

$m^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }|I_{i}|:(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\mbox{ meliputi }}A\right\}.$

Tepatnya, $m^{\ast }$ yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian dari $\mathbb {R}$ bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan $A\subseteq \mathbb {R}$ dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat himpunan tertutup $F\subseteq A$ dan himpunan terbuka $G\supseteq A$ sedemikian sehingga $m^{\ast }(G\setminus F)<\varepsilon$. Sekarang misalkan $\Sigma$ adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya, $\Sigma$ aljabar sigma dan fungsi $m^{\ast }$ yang dibatasi pada $\Sigma$ ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di $\mathbb {R}$) dan dilambangkan dengan $m$.

Ukuran penghitungan

Misalnya $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ himpunan kunasa, yakni $\Sigma$ keluarga semua himpunan bagian dari $X$. Jelas, $\Sigma$ aljabar sigma. Untuk $A\in \Sigma$, nilai $\mu (A)$ definisikan sebagai jumlah unsur himpunan $A$. Fungsi itu $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ dikenal sebagai ukuran penghitungan di $X$.

Referensi

• Hendra Gunawan, 2014. Analisis Fourier dan Wavelet. Catatan Kuliah.
• R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-317160-0  Second edition.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.