Fungsi ganjil dan genap

Fungsi sinus dan semua polinomial Taylorlnya merupakan fungsi ganjil. Gambar ini menunjukkan sin(x) dan perkiraan Taylornya, polinomial dengan derajat 1, 3, 5, 7, 9, 11 dan 13.

Fungsi kosinus dan semua polinomial Taylorlnya merupakan fungsi genap. Gambar ini menunjukkan cos(x) dan perkiraan Taylornya dengan derajat 4.

Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut parity pangkat dari fungsi pangkat yang memenuhi setiap kondisi tertentu:

• fungsi f(x) = xⁿ adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah interger genap.
• fungsi f(x) = xⁿ adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah interger ganjil.

Definisi dan contoh

Konsep ganjil atau genap hanya didefinisikan untuk fungsi-fungsi yang ranah (domain) dan rentang (range)nya keduanya memiliki suatu invers aditif. Ini meliputi grup-grup aditif, semua cincin (ring), semua field, dan semua ruang vektor. Jadi, misalnya, fungsi dengan nilai real dari variabel real dapat merupakan fungsi ganjil atau genap, sebagaimana juga fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel vektor, dan seterusnya.

Sifat kalkulus

Sifat kalkulus dasar

• Turunan dari sebuah fungsi genap adalah fungsi ganjil.
• Turunan dari sebuah fungsi ganjil adalah fungsi genap.
• Integral dari sebuah fungsi ganjil dari −A ke +A adalah nol (dimana A adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −A dan A).
• Integral dari sebuah fungsi genap dari −A ke +A adalah dua kali integral dari 0 ke +A (dimanaA adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −A dan A. Ini juga benar ketika A adalah bilangan tak terhingga, tetapi hanya jika integral itu konvergen).

Sifat deret

• Deret Maclaurin dari sebuah fungsi genap hanya terdiri dari pangkat genap.
• Deret Maclaurinof dari sebuah fungsi ganjil hanya terdiri dari pangkat ganjil.
• Deret Fourier dari sebuah fungsi genap periodik hanya terdiri dari fungsi kosinus.
• Deret Fourier dari sebuah fungsi ganjil periodik hanya terdiri dari fungsi sinus.

Lihat pula

• Fungsi Hermitian untuk generalisasi bilangan kompleks
• Deret Taylor
• Deret Fourier
• Metode Holstein–Herring

Pustaka

• Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, N.Y: Dover Publications