Korespondensi anti-de Sitter/teori medan konformal

Dalam fisika teoretis, korespondensi anti-de Sitter/teori medan konformal, kadang-kadang disebut Dualitas Maldacena atau Dualitas gauge/gravitasi, adalah sebuah hubungan spekulatif antara dua jenis teori fisika. Di satu sisi adalah ruang anti-de Sitter (AdS) yang digunakan dalam teori gravitasi kuantum, dirumuskan dalam bentuk teori dawai atau teori-M. Disisi lain dari korespondensi adalah teori medan konformal (CFT) yang merupakan teori medan kuantum, termasuk teori yang mirip dengan teori Yang–Mills yang menjabarkan partikel dasar.

Dualitas merupakan kemajuan besar dalam pemahaman kita tentang teori dawai dan gravitasi kuantum. Hal ini karena ia menyediakan rumusan teori dawai non-perturbatif dengan kondisi batas tertentu dan karena ini merupakan realisasi prinsip holografik yang paling sukses, sebuah gagasan dalam gravitasi kuantum yang awalnya diajukan oleh Gerard 't Hooft dan dipopulerkan oleh Leonard Susskind.

Ini juga menyediakan perangkat yang kuat untuk mempelajari teori medan kuantum kopel kuat. Sebagian besar kegunaan dualitas berasal dari kenyataan bahwa ini adalah dualitas kuat-lemah: ketika bidang teori medan kuantum berinteraksi dengan kuat, teori gravitasi berinteraksi dengan lemah dan karenanya lebih bersifat matematis. Fakta ini telah digunakan untuk mempelajari banyak aspek nuklir dan fisika benda terkondensasi dengan menerjemahkan masalah pada subjek tersebut menjadi masalah yang lebih bersifat matematis dalam teori dawai.

Korespondensi AdS/CFT pertama kali dikemukakan oleh Juan Maldacena pada akhir 1997. Aspek penting dalam korespondensi ini diuraikan dalam artikel karya Steven Gubser, Igor Klebanov, dan Alexander Markovich Polyakov, dan oleh Edward Witten. Pada tahun 2015, artikel yang dibuat Maldacena telah dikutip dalam lebih dari 10.000 kutipan, menjadi artikel yang paling banyak dikutip dalam bidang fisika energi tinggi.

Latar belakang

Gravitasi kuantum dan dawai

Artikel utama: Gravitasi kuantum dan Teori dawai

Pemahaman terkini mengenai gravitasi didasarkan pada teori relativitas umum Albert Einstein. Dirumuskan pada tahun 1915, relativitas umum menjelaskan gravitasi dalam kaitanya dengan geometri ruang dan waktu, atau ruangwaktu. Gravitasi pertama-tama dirumuskan dalam bahasa fisika klasik dikembangkan oleh ahli fisika seperti Isaac Newton dan James Clerk Maxwell. Gaya nongravitasi lainnya dijelaskan dalam kerangka mekanika kuantum. Dikembangkan pada paruh pertama abad ke-20 oleh sejumlah fisikawan yang berbeda, mekanika kuantum memberikan cara yang sangat berbeda untuk menggambarkan fenomena fisik berdasarkan probabilitas.

Gravitasi kuantum adalah cabang fisika yang berusaha menggambarkan gravitasi dengan menggunakan prinsip-prinsip mekanika kuantum. Saat ini, pendekatan yang paling populer untuk gravitasi kuantum adalah teori dawai, yang memodelkan partikel elementer bukan sebagai titik berdimensi nol tetapi sebagai objek berdimensi satu yang disebut dawai. Dalam korespondensi AdS/CFT, seseorang biasanya mengacu kepada teori gravitasi kuantum yang berasal dari teori dawai atau perpanjangan modernnya, teori-M.

Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat tiga dimensi ruang yang umum dikenal (atas/bawah, kiri/kanan, dan depan/belakang), dan satu dimensi waktu. Dengan demikian, dalam bahasa fisika modern, seseorang mengatakan bahwa ruangwaktu adalah empat dimensi. Salah satu ciri khas dari teori dawai dan teori-M adalah bahwa teori-teori ini membutuhkan dimensi ekstra ruangwaktu untuk konsistensi matematis mereka: dalam teori dawai ruangwaktu adalah sepuluh dimensi, sedangkan dalam teori M ruangwaktu adalah sebelas dimensi. Teori gravitasi kuantum yang muncul dalam korespondensi AdS/CFT biasanya diperoleh dari teori dawai dan teori-M dengan proses yang dikenal sebagai pemadatan. Ini menghasilkan sebuah teori di mana ruangwaktu secara efektif memiliki jumlah dimensi yang lebih rendah dan dimensi ekstra "meringkuk" ke dalam lingkaran.

Sebuah analogi standar untuk pemadatan adalah dengan mempertimbangkan benda multidimensi seperti selang taman. Jika selang dilihat dari jarak yang cukup jauh, akan tampak hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjangnya, tetapi saat mendekati selang, seseorang akan menemukan bahwa selang itu mengandung dimensi kedua, yaitu kelilingnya. Dengan demikian, semut yang merangkak di dalam selang akan bergerak dalam dua dimensi.

Teori medan kuantum

Artikel utama: Teori medan kuantum dan Teori medan konformal

Penerapan mekanika kuantum ke objek fisika seperti medan elektromagnetik yang memanjang dalam ruang dan waktu, dikenal sebagai teori medan kuantum. dalam fisika partikel, teori medan kuantum merupakan dasar bagi pemahaman kita tentang partikel dasar, yang dimodelkan sebagai eksitasi di bidang fundamental. Teori medan kuantum juga digunakan di seluruh fisika benda terkondensasi untuk memodelkan benda mirip partikel yang disebut kuasipartikel.

Dalam korespondensi AdS/CFT, seseorang mempertimbangkan, sebagai tambahan gravitasi kuantum, teori bidang kuantum tertentu yang disebut teori medan konformal. Ini adalah teori medan kuantum yang sangat simetris dan matematis. Teori semacam itu sering dipelajari dalam konteks teori dawai, di mana keduanya dikaitkan dengan permukaan disapu oleh sebuah dawai yang menyebar melalui ruangwaktu, dan pada mekanika statistik, di mana mereka memodelkan sistem pada titik kritis termodinamika.

Ikhtisar korespondensi

Sebuah ubin tritetragonal dari bidang hiperbolik dengan segitiga dan persegi.

Geometri ruang anti-de Sitter

Informasi lebih lanjut mengenai matematika yang dijelaskan disini: Ruang Anti-de Sitter

Dalam korespondensi AdS/CFT, seseorang mempertimbangkan teori dawai atau teori-M pada latar belakang anti-de Sitter. Ini berarti bahwa geometri ruangwaktu dijelaskan dalam istilah solusi vakum persamaan Einstein yang disebut ruang anti-de Sitter.

Dalam istilah yang sangat mendasar, ruang anti-de Sitter adalah model matematis ruangwaktu di mana pengartian jarak antara titik-titik (tensor metrik) berbeda dari pengartian jarak pada geometri Euklidian biasa. Hal ini terkait erat dengan ruang hiperbolik, yang dapat dipandang sebagai model cakram Poincaré seperti diilustrasikan di sebelah kanan. Gambar ini menunjukkan teselasi cakram oleh segitiga dan persegi. Seseorang dapat menentukan jarak antara titik-titik cakram ini sedemikian rupa sehingga semua segitiga dan persegi berukuran sama dan batas luar melingkar jauh tak hingga dari setiap titik di bagian dalam.

Sekarang bayangkan tumpukan cakram hiperbolik di mana setiap cakram mewakili keadaan alam semesta pada waktu tertentu. Benda geometris yang dihasilkan adalah ruang anti-de Sitter tiga dimensi. Itu akan tampak seperti silinder padat dimana setiap persilangan adalah salinan dari cakram hiperbolik. Waktu berjalan di sepanjang arah vertikal dalam gambar ini. Permukaan silinder ini memegang peranan penting dalam korespondensi AdS/CFT. Seperti halnya bidang hiperbolik, ruang anti-de Sitter merupakan lengkungan sedemikian rupa sehingga setiap titik di bagian dalam sebenarnya jauh tak hingga dari permukaan batas ini.

Ruang anti-de Sitter tiga dimensi berbentuk seperti setumpuk cakram hiperbolik, masing-masing mewakili keadaan alam semesta pada waktu tertentu. Ruangwaktu yang dihasilkan terlihat seperti silinder pepat.

Konstruksi ini menggambarkan alam semesta hipotetis dengan hanya dua dimensi ruang dan satu waktu, namun dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Memang, ruang hiperbolik dapat memiliki lebih dari dua dimensi dan satu dimensi dapat "menumpuk" salinan ruang hiperbolik untuk mendapatkan model ruang anti-de Sitter yang lebih tinggi.

Gagasan AdS/CFT

Fitur penting dari ruang anti-de Sitter adalah batasnya (yang terlihat seperti silinder dalam kasus ruang anti-de Sitter tiga dimensi). Salah satu properti dari batas ini adalah bahwa, secara lokal di sekitar titik manapun, akan terlihat seperti ruang Minkowski, yaitu model ruangwaktu yang digunakan dalam fisika nongravitasi.

Oleh karena itu, seseorang dapat mempertimbangkan teori pelengkap di mana "ruangwaktu" diberikan oleh batas ruang anti-de Sitter. Pengamatan ini adalah titik awal untuk korespondensi AdS/CFT, yang menyatakan bahwa batas ruang anti-de Sitter dapat dianggap sebagai "ruangwaktu" untuk teori medan konformal. Klaimnya adalah bahwa teori medan konformal ini setara dengan teori gravitasi pada sejumlah besar ruang anti-de Sitter dalam arti bahwa ada "kamus" untuk menerjemahkan perhitungan dalam satu teori ke dalam perhitungan di sisi lain. Setiap entitas dalam satu teori memiliki pendamping dalam teori lainnya. Sebagai contoh, satu partikel dalam teori gravitasi mungkin sesuai dengan beberapa kumpulan partikel dalam teori batas. Selain itu, prediksi kedua teori tersebut secara kuantitatif identik sehingga jika dua partikel memiliki kemungkinan 40 persen bertabrakan dalam teori gravitasi, maka kumpulan yang sesuai dalam teori batas juga memiliki kemungkinan 40 persen bertabrakan.

hologram adalah gambar dua dimensi yang menyimpan informasi tentang ketiga dimensi objek yang diwakilinya. Dua gambar di sini adalah foto-foto hologram tunggal yang diambil dari berbagai sudut.

Perhatikan bahwa batas ruang anti-de Sitter memiliki dimensi lebih kecil daripada ruang anti-de Sitter itu sendiri. Misalnya, dalam contoh tiga dimensi yang digambarkan di atas, batasnya adalah permukaan dua dimensi. Korespondensi AdS/CFT sering digambarkan sebagai "dualitas holografik" karena hubungan kedua teori ini serupa dengan hubungan antara objek tiga dimensi dan citranya sebagai hologram. Meskipun hologram berupa dua dimensi, ia mengkodekan informasi tentang ketiga dimensi objek yang diwakilinya. Dengan cara yang sama, teori-teori yang terkait dengan korespondensi AdS/CFT diperkirakan tepat ekuvalen, meski berada dalam berbagai dimensi yang berbeda. Teori medan konformal dapat dikatakan seperti hologram yang menangkap informasi tentang teori gravitasi kuantum pada dimensi yang lebih tinggi.

Contoh korespondensi

Setelah gagasan yang dikemukakan Maldacena pada tahun 1997, para teoretikus telah menemukan banyak realisasi yang berbeda dari korespondensi AdS/CFT. Ini menghubungkan berbagai teori medan konformal dengan kompaktifikasi teori dawai dan teori-M dalam berbagai dimensi. Teori-teori yang terkait pada umumnya bukanlah model yang layak dari dunia nyata, namun memiliki beberapa fitur tertentu, seperti kandungan partikelnya atau tingkat simetri yang tinggi, yang membuatnya berguna untuk memecahkan masalah dalam teori medan kuantum dan gravitasi kuantum.

Contoh yang paling terkenal dari korespondensi AdS/CFT menyatakan bahwa teori dawai tipe IIB pada ruang produk $AdS_{5}\times S^{5}$ adalah ekuivalen dengan teori supersimetri Yang–Mills N = 4 pada batas empat dimensi. Dalam contoh ini, ruangwaktu dimana teori gravitasi berada secara efektif merupakan lima dimensi (perhatikan notasi $AdS_{5}$), dan ada lima tambahan dimensi kompak (dikodekan oleh faktor $S^{5}$). Di dunia nyata, ruangwaktu adalah empat dimensi, setidaknya secara makroskopis, jadi versi korespondensi ini tidak memberikan model gravitasi yang realistis. Demikian juga, teori ganda bukanlah model yang layak dari sistem dunia nyata karena mengasumsikan sejumlah besar supersimetri. Namun demikian, seperti yang dijelaskan di bawah, teori batas ini berbagi beberapa ciri yang sama dengan kromodinamika kuantum, teori fundamental dari gaya kuat. Ini menggambarkan partikel yang mirip dengan gluon dari kromodinamika kuantum bersama dengan fermion tertentu. As a result, it has found applications in nuclear physics, particularly in the study of the quark–gluon plasma.

Realisasi lain dari korespondensi tersebut menyatakan bahwa teori M pada $AdS_{7}\times S^{4}$ setara dengan yang disebut teori-(2,0) dalam enam dimensi. In this example, the spacetime of the gravitational theory is effectively seven-dimensional. Dalam contoh ini, ruangwaktu teori gravitasi efektif tujuh dimensi. Keberadaan teori-(2,0) yang muncul di satu sisi dualitas diprediksi dengan klasifikasi teori bidang superkonformal. Hal ini masih kurang dipahami karena merupakan teori mekanika kuantum tanpa batas klasik. Terlepas dari kesulitan yang ada dalam mempelajari teori ini, meskipun dianggap sebagai objek yang menarik untuk berbagai alasan, baik fisika maupun matematis.

Namun, realisasi lain dari korespondensi tersebut menyatakan bahwa teori M pada $AdS_{4}\times S^{7}$ adalah ekuivalen dengan teori bidang superkonformal ABJM dalam tiga dimensi. Di sini teori gravitasi memiliki empat dimensi nonkompak, jadi versi korespondensi ini memberikan deskripsi gaya gravitasi yang agak lebih realistis.

Lihat pula

• Holografi aljabar
• Konstruksi ambien
• Model Randall–Sundrum

Referensi

• Aharony, Ofer; Bergman, Oren; Jafferis, Daniel Louis; Maldacena, Juan (2008). "N = 6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals". Journal of High Energy Physics. 2008 (10): 091. arXiv:0806.1218 . Bibcode:2008JHEP...10..091A. doi:10.1088/1126-6708/2008/10/091. 
• Aharony, Ofer; Gubser, Steven; Maldacena, Juan; Ooguri, Hirosi; Oz, Yaron (2000). "Large N Field Theories, String Theory and Gravity". Phys. Rep. 323 (3–4): 183–386. arXiv:hep-th/9905111 . Bibcode:1999PhR...323..183A. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. 
• Alday, Luis; Gaiotto, Davide; Tachikawa, Yuji (2010). "Liouville correlation functions from four-dimensional gauge theories". Letters in Mathematical Physics. 91 (2): 167–197. arXiv:0906.3219 . Bibcode:2010LMaPh..91..167A. doi:10.1007/s11005-010-0369-5. 
• Anderson, Philip (2013). "Strange connections to strange metals". Physics Today. 66 (4): 9. Bibcode:2013PhT....66d...9A. doi:10.1063/PT.3.1929. 
• Bekenstein, Jacob (1973). "Black holes and entropy". Physical Review D. 7 (8): 2333–2346. Bibcode:1973PhRvD...7.2333B. doi:10.1103/PhysRevD.7.2333. 
• Biquard, Olivier (2005). AdS/CFT Correspondence: Einstein Metrics and Their Conformal Boundaries. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-013-5. 
• Brown, J. David; Henneaux, Marc (1986). "Central charges in the canonical realization of asymptotic symmetries: an example from three dimensional gravity". Communications in Mathematical Physics. 104 (2): 207–226. Bibcode:1986CMaPh.104..207B. doi:10.1007/BF01211590. 
• Carlip, Steven (2003). Quantum Gravity in 2+1 Dimensions. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. ISBN 978-0-521-54588-4. 
• Castro, Alejandra; Maloney, Alexander; Strominger, Andrew (2010). "Hidden conformal symmetry of the Kerr black hole". Physical Review D. 82 (2). arXiv:1004.0996 . Bibcode:2010PhRvD..82b4008C. doi:10.1103/PhysRevD.82.024008. 
• Coussaert, Oliver; Henneaux, Marc; van Driel, Peter (1995). "The asymptotic dynamics of three-dimensional Einstein gravity with a negative cosmological constant". Classical and Quantum Gravity. 12 (12): 2961–2966. arXiv:gr-qc/9506019 . Bibcode:1995CQGra..12.2961C. doi:10.1088/0264-9381/12/12/012. 
• Cowen, Ron (2013). "Simulations back up theory that Universe is a hologram". Nature News & Comment. doi:10.1038/nature.2013.14328. Diakses tanggal 21 December 2013. 
• de Haro, Sebastian; Dieks, Dennis; 't Hooft, Gerard; Verlinde, Erik (2013). "Forty Years of String Theory Reflecting on the Foundations". Foundations of Physics. 43 (1): 1–7. Bibcode:2013FoPh...43....1D. doi:10.1007/s10701-012-9691-3. 
• Deligne, Pierre; Etingof, Pavel; Freed, Daniel; Jeffery, Lisa; Kazhdan, David; Morgan, John; Morrison, David; Witten, Edward, ed. (1999). Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2014-8. 
• Fefferman, Charles; Graham, Robin (1985). "Conformal invariants". Asterisque: 95–116. 
• Fefferman, Charles; Graham, Robin (2011). The Ambient Metric. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-4058-8. 
• Giombi, Simone; Yin, Xi (2010). "Higher spin gauge theory and holography: the three-point functions". Journal of High Energy Physics. 2010 (9): 1–80. arXiv:0912.3462 . Bibcode:2010JHEP...09..115G. doi:10.1007/JHEP09(2010)115. 
• Greene, Brian (2000). The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. Random House. ISBN 978-0-9650888-0-0. 
• Griffiths, David (2004). Introduction to Quantum Mechanics. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8. 
• Gubser, Steven; Klebanov, Igor; Polyakov, Alexander (1998). "Gauge theory correlators from non-critical string theory". Physics Letters B. 428: 105–114. arXiv:hep-th/9802109 . Bibcode:1998PhLB..428..105G. doi:10.1016/S0370-2693(98)00377-3. 
• Guica, Monica; Hartman, Thomas; Song, Wei; Strominger, Andrew (2009). "The Kerr/CFT Correspondence". Physical Review D. 80 (12). arXiv:0809.4266 . Bibcode:2009PhRvD..80l4008G. doi:10.1103/PhysRevD.80.124008. 
• Hawking, Stephen (1975). "Particle creation by black holes". Communications in Mathematical Physics. 43 (3): 199–220. Bibcode:1975CMaPh..43..199H. doi:10.1007/BF02345020. 
• Hawking, Stephen (2005). "Information loss in black holes". Physical Review D. 72 (8). arXiv:hep-th/0507171 . Bibcode:2005PhRvD..72h4013H. doi:10.1103/PhysRevD.72.084013. 
• Klebanov, Igor; Maldacena, Juan (2009). "Solving Quantum Field Theories via Curved Spacetimes" (PDF). Physics Today. 62: 28–33. Bibcode:2009PhT....62a..28K. doi:10.1063/1.3074260. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2013-07-02. 
• Klebanov, Igor; Polyakov, Alexander (2002). "The AdS dual of the critical O(N) vector model". Physics Letters B. 550 (3–4): 213–219. arXiv:hep-th/0210114 . Bibcode:2002PhLB..550..213K. doi:10.1016/S0370-2693(02)02980-5. 
• Kovtun, P. K.; Son, Dam T.; Starinets, A. O. (2001). "Viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics". Physical Review Letters. 94 (11): 111601. arXiv:hep-th/0405231 . Bibcode:2005PhRvL..94k1601K. doi:10.1103/PhysRevLett.94.111601. PMID 15903845. 
• Luzum, Matthew; Romatschke, Paul (2008). "Conformal relativistic viscous hydrodynamics: Applications to RHIC results at ${\sqrt {s_{NN}}}=200$ GeV". Physical Review C. 78 (3). arXiv:0804.4015 . Bibcode:2008PhRvC..78c4915L. doi:10.1103/PhysRevC.78.034915. 
• Maldacena, Juan (1998). "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2: 231–252. arXiv:hep-th/9711200 . Bibcode:1998AdTMP...2..231M. doi:10.1023/A:1026654312961. 
• Maldacena, Juan (2005). "The Illusion of Gravity" (PDF). Scientific American. 293 (5): 56–63. Bibcode:2005SciAm.293e..56M. doi:10.1038/scientificamerican1105-56. PMID 16318027. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2013-11-10. 
• McLerran, Larry (2007). "Theory Summary : Quark Matter 2006". Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 34 (8): S583. arXiv:hep-ph/0702004 . Bibcode:2007JPhG...34..583M. doi:10.1088/0954-3899/34/8/S50. 
• Merali, Zeeya (2011). "Collaborative physics: string theory finds a bench mate". Nature. 478 (7369): 302–304. Bibcode:2011Natur.478..302M. doi:10.1038/478302a. PMID 22012369. 
• Moore, Gregory (2012). "Lecture Notes for Felix Klein Lectures" (PDF). Diakses tanggal 14 August 2013. 
• Perlmutter, Saul (2003). "Supernovae, dark energy, and the accelerating universe". Physics Today. 56 (4): 53–62. Bibcode:2003PhT....56d..53P. doi:10.1063/1.1580050. 
• Peskin, Michael; Schroeder, Daniel (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5. 
• Polyakov, Alexander (2008). "From Quarks to Strings". arΧiv:0812.0183 [hep-th]. 
• Rangamani, Mukund (2009). "Gravity and Hydrodynamics: Lectures on the fluid-gravity correspondence". Classical and quantum gravity. 26 (22): 4003. arXiv:0905.4352 . Bibcode:2009CQGra..26v4003R. doi:10.1088/0264-9381/26/22/224003. 
• Sachdev, Subir (2013). "Strange and stringy". Scientific American. 308 (44): 44–51. Bibcode:2012SciAm.308a..44S. doi:10.1038/scientificamerican0113-44. 
• Scherk, Joel; Schwarz, John (1974). "Dual models for non-hadrons". Nuclear Physics B. 81 (1): 118–144. Bibcode:1974NuPhB..81..118S. doi:10.1016/0550-3213(74)90010-8. 
• Strominger, Andrew (2001). "The dS/CFT correspondence". Journal of High Energy Physics. 2001 (10): 034. arXiv:hep-th/0106113 . Bibcode:2001JHEP...10..034S. doi:10.1088/1126-6708/2001/10/034. 
• Susskind, Leonard (1995). "The World as a Hologram". Journal of Mathematical Physics. 36 (11): 6377–6396. arXiv:hep-th/9409089 . Bibcode:1995JMP....36.6377S. doi:10.1063/1.531249. 
• Susskind, Leonard (2008). The Black Hole War: My Battle with Stephen Hawking to Make the World Safe for Quantum Mechanics. Little, Brown and Company. ISBN 978-0-316-01641-4. 
• 't Hooft, Gerard (1974). "A planar diagram theory for strong interactions". Nuclear Physics B. 72 (3): 461–473. Bibcode:1974NuPhB..72..461T. doi:10.1016/0550-3213(74)90154-0. 
• 't Hooft, Gerard (1993). "Dimensional Reduction in Quantum Gravity". arΧiv:gr-qc/9310026. 
• Wald, Robert (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5. 
• Witten, Edward (1988). "2+1 dimensional gravity as an exactly soluble system". Nuclear Physics B. 311 (1): 46–78. Bibcode:1988NuPhB.311...46W. doi:10.1016/0550-3213(88)90143-5. 
• Witten, Edward (1998). "Anti-de Sitter space and holography". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2: 253–291. arXiv:hep-th/9802150 . Bibcode:1998AdTMP...2..253W. 
• Witten, Edward (2007). "Three-dimensional gravity revisited". arΧiv:0706.3359 [hep-th]. 
• Zee, Anthony (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell (edisi ke-2nd). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14034-6. 
• Zwiebach, Barton (2009). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.